Rangebestimmung Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Do 07.02.2008 | | Autor: | Brezel85 |
| Aufgabe | 1 2 1 | 3
0 -1 -3 | -2
0 0 8 | 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo...wie ich zu dem oben stehenden ergebnis komme habe ich verstanden. Das Problem besteht darin, dass die Ränge (nach den Lösungen die mir vorliegen) folgende sein sollen:
Rang (A) = 3 (das ist klar)
Rang (A/b) = 3 (<- das ist mir nicht klar)
entspricht der Rang nicht der Anzahl der Zeilen die ungleich 0 sind?
Davon hätte ich bei A/b ja nur 2 und das GS wäre somit nicht lösbar...
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Do 07.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
die Matrix [mm] $\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \end{pmatrix}$ [/mm] besitzt doch den Rang drei. Nicht nur den hinteren Teil betrachten, sondern die Diagonalelemente der gesamten Matrix.
LG
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Do 07.02.2008 | | Autor: | Brezel85 |
| Aufgabe | 1 2 | 4
0 -1 | -11
0 0 | 59 |
hmm...kann ich nicht so ganz nachvollziehen.
wir haben die ränge gesondert bestimmt.
wenn sie (wie in dem anderen beispiel mit Rang A=2, Rang A/b=3) nicht übereinstimmen, ist die aufgabe nicht lösbar. das könnte ich doch nicht sagen wenn ich sie nicht gesondert betrachte? dann wäre der Rang in dem Fall ja auch 'nur' 3...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 07.02.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
die erweiterte Koeffizientenmatrix A|b entspricht gerade der Matrix
$ [mm] \begin{pmatrix}1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $.
Deren Rang berechnet man dadurch, dass man sie in die sog. Zeilenstufenform überführt und danach überprüft, welche Pivoteinträge (d.h. welche Hauptdiagonaleinträge) ungleich 0 sind. Bei dieser Matrix sind das alle möglichen, nämlich genau drei.
Den Rang der Koeffizientenmatrix A kannst Du angeblich selbst bestimmen, dieser ist auch drei.
Da also die Ränge von A und A|b übereinstimmen, existiert eine Lösung des Gleichungssystems Ax = b.
Im Spezialfall b=0 kann somit der Rang von A durch den zusätzlichen Spaltenvektor b nicht erhöht werden, d.h. hier gilt stets Rang(A)=Rang(A|b), deshalb existiert für homogene LGS auch stets eine Lösung (die Triviallösung).
LG
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Do 07.02.2008 | | Autor: | Brezel85 |
super! habe es jetzt verstanden! vielen dank für die schnelle hilfe!
lg
mareike
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