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| Aufgabe | [mm] f(x)=x^3/(x^2-x-2)
[/mm]
f'(x), f''(x), Nullstellen, Extremwerte, Wendestelle, Asymptote |
Hallo an alle,
ich sitze nun schon seit zwei Tagen an dieser Aufgabe und habe eigentlich fast alles herausgefunden, bis auf den Wendepunkt, da ich die 2. Ableitung der gegebenen Funktion nicht hinbekomme.
Das heißt, ich kenne zwar die Lösung: [mm] f''(x)=6x(4+2x+x^2)/(x^2-x-2)^3 [/mm] , finde aber keinen anschaulichen Lösungsweg. Habe es mit der Quotientenregelung probiert, aber dabei kommt eine unendlich lange Zahlenschlange heraus die mir irgendwie komisch vorkommt?!
Vielleicht kann mir irgendjemand einen Tipp geben, damit ich auf die Sprünge komme?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im Voraus, Diana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
also als erste Ableitung habe ich hier
[mm] f'(x)=\bruch{x^4-2x^3-6x^2}{(x^2-x-2)^2} [/mm] heraus.
Das nochmal abgeleitet ergibt in der Tat einen riesigen Zahlenwust.
Den musst du aber nur einmal richtig auflösen, dann wirst du sehen, dass ich ziemlich viel weghebt.
Dein Kontrollergebnis stimmt auf jeden Fall, lass dich also nich Entmutigen=)
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Sa 05.05.2007 | | Autor: | diana1982 |
Hi.
vielen Dank für die schnelle Antwort!!
Da bin ich schon beruhigt, die erste Ableitung hab ich auch so. Dann werde ich mich jetzt doch über die lange Zahlenreihe der zweiten Ableitung hermachen... Habe mir nur gedacht ich habe einen Fehler gemacht, und es gibt einen einfacheren Weg.
Danke nochmal, die Antwort hat mir sehr geholfen! Werde mich mit meinen mathematischen Problemchen jetzt öfter ans Forum wenden!
Schönen Abend, lg Diana
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| Aufgabe | [mm] f''(x)=(6x(4+2x+x^2))/(x^2-x-2)^3
[/mm]
Wendepunkte? |
Hi!
Habe gestern dank Hilfe endlich die 2. Ableitung (siehe oben) gefunden. Nun wäre der Wendepunkt gefragt.
Ich weiß dass ich f''(x) mit Null gleichsetzen muss, weiß nur nicht wie!! Laut Zeichnung müsste er auf (0/0) liegen, bekomme das aber rechnerisch nicht heraus!
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Lg Diana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 So 06.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Diana und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler 0 wird (und der Nenner nicht an derselben Stelle)
Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird,
Du hast im Zähler 2 Faktoren : 6x und [mm] x^2+2x+4 [/mm] , der zweite kann nicht 0 werden (musst du aber zeigen) bleibt der erste!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 So 06.05.2007 | | Autor: | diana1982 |
Danke, habe es schon auf diese Weise probiert wollte nur nicht glauben, dass es stimmt.
Habe [mm] x^2+2x+4 [/mm] mit der A-B-C-Formel ausgerechnet, und da unter der Wurzel eine negative Zahl ist, sollte dies der Beweis sein.
Vielen Dank nochmal, habe endlich die ganze Aufgabe gelöst!!!
P.S.: Bin ganz begeistert von der raschen Hilfe von freundlichen Menschen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
diese Argumentation "unter der Wurzel steht eine negative Zahl, und das kann ja nicht sein" hat bei uns z.B. im Mathe LK nicht gezählt!
Denn: Wenn du die ABC Formel ausführlich mit quadratischer Ergänzung etc. rechnen würdest (was du ja nicht machen musst), dann steht dort irgendwann:
[mm] (x-5)^2=-5 [/mm] (Das ist jetzt nur irgendein Beispiel von mir, das nicht zur Aufgabe passt!)
Wenn wir uns im Bereich der Reellen Zahlen [mm] \IR [/mm] befinden, so musst du schon hier sagen:
Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein (positiv darfst du hier auch nicht sagen, da das Quadrat einer Zahl ja auch Null sein kann), also ist die Lösungsmene die Leere Menge.
Den Schritt des "Wurzelziehens" darfst du hier ja gar nicht erst machen, da du dann ja in der Tat eine negative Zahl unter einer Wurzel stehen hast.
Ich weiß, das ist ein bisschen Erbsenzählerei, aber ich weiß ja nicht, wie "genau" ihr so etwas nehmt, und deshalb wollte ich da nochmal etwas zu sagen =)
Aber noch mal ein Alternativweg:
Du könntest diese Parabelfunktion ja mal in die Scheitelpunktsform bringen, und dann argumentieren:
Da es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, die um so und so viel nach oben verschoben worden ist, hat sie keine Schnittpunkte mit der x-Achse, also auch keine Nullstellen.
Lieben Gruß,
Kroni
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:51 So 06.05.2007 | | Autor: | diana1982 |
| Aufgabe | [mm] x^3/(x^2-x-2)
[/mm]
Asymptote y=x+1
Definitionsmenge {-1,2}
N(0/0), H (-1.65/-1.89), T (3.65/6.34), W(0/0) |
Hi,
ich glaube mein mathematisches Wissen reicht nicht ganz aus um dem zu folgen.
In dieser Funktion gibt es ja eine Nullstelle, die praktisch mit dem Wendepunkt zusammenfällt?!
Ich hoffe nur ich brauch es nicht so genau, da steckt noch viel Arbeit dahinter...
Nochmal danke, bewundere wie viel Wissen hier alle haben. Beschäftige mich erst seit ca. einem Jahr wieder intensiver mit Mathe und merke immer wieder, dass viele Sachen einfach vergessen sind und ich teilweise schon an einfachen Grundlagen gescheitert bin (im Nachhinein habe ich wenigstens was zum Lachen)!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 06.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da steht Rückfrage. Was willst du wissen?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 So 06.05.2007 | | Autor: | diana1982 |
Sorry, mein Fehler!
Habe nur das mit der Scheitelfunktionsform nicht verstanden, und wieso es keine Nullstelle gibt. In meiner Lösung habe ich ja eine Nullstelle die mit der Wendestelle zusammenfällt - oder verstehe ich das falsch?
Jetzt weiß ich nicht wie ich sonst beweisen soll, warum ich nur eine Wendestelle habe, da das mit der ABC-Formel ja nicht wirklich mathematisch begründet ist - zumindest nicht mit meiner Aussage mit der neg. Zahl in der Wurzel :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich kenne jetzt nicht die ABC Formel, aber das ist denke ich mal eine Abgewandelte Form der pq-Formel.
Da gibt es doch sicherlich auch eine Diskriminante=)
Das ist die Zahl, die hinterher unter der Wurzel steht.
Und wenn du dann erst die Diskriminante berechnest, und dann sagst: Die Diskriminante ist negativ, also ist [mm] \IL={} [/mm] , so ist deine Antwort auch "mathematisch" korrekt.
Was ich mit der Parabel meinte:
Du kennst doch sicherlich die Scheitelpunktsform einer Parabel:
[mm] f(x)=a(x-b)^2+c
[/mm]
Dann ist S(b;c) der Scheitel der Parabel.
In deinem Fall müsste dann etwas herauskommen, dass c>0 ist, d.h. der Scheitel oberhalb der x-Achse liegt.
a wird ebenfalls größer als Null sein, da die Parabel dann nach oben geöffnet ist. Diese Form kriegst du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung raus.
Wenn du jetzt dann die Argumentation startest: Es handelt sich um eine Parabel (da ganzrationale Funktion zweiten Gerades), von der der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt, und nach oben geöffnet ist, so ist es unmöglich, dass diese Parabel eine Nullstelle hat.
Das wäre die alternative Erklärung, warum du hier keine Nullstellen findest.
Nur in dieser Rechnung ist die Begründung wirklich nur alternativ, weil du ja auch hier rechnen musst (nämlich einmal die Funktion in die Scheitelpunktsform bringen).
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Mo 07.05.2007 | | Autor: | diana1982 |
Danke, jetzt versteh ich's besser!
Die ABC-Formel ist ähnlich der pq-Formel bzw. eine Abwandlung [mm] (-b\pm\wurzel{b^2 -4*a*c})/2a, [/mm] hab mir nur diese schon angewöhnt.
Lg Diana
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