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| Aufgabe | | Prüfe die Raumdiagonalen eines Würfels auf Orthogonalität! |
Hallo,
wir haben diese Aufgabe im Unterricht besprochen, nun habe ich jedoch zwei Fragen dazu:
zuerst wurden die Gleichungen e=a+b+c und f=a-b-c (alles Vektoren)aufgestellt. Ich verstehe die zweite gleichung aber nicht, warum sind denn b und c negativ?
Dann haben wir das Skalarprodukt gebildet: e x f = (a+b+c) x (a-b-c)= [mm] a^2-b^2-c^2, [/mm] müsste hier nicht [mm] a^2-b^2-c^2-2bc [/mm] rauskommen?
dankeschön!
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Hallo Piacynthia,
> Prüfe die Raumdiagonalen eines Würfels auf
> Orthogonalität!
> Hallo,
> wir haben diese Aufgabe im Unterricht besprochen, nun habe
> ich jedoch zwei Fragen dazu:
> zuerst wurden die Gleichungen e=a+b+c und f=a-b-c (alles
> Vektoren)aufgestellt. Ich verstehe die zweite gleichung
> aber nicht, warum sind denn b und c negativ?
Damit findest Du eine andere Raumdiagonale. Vielleicht kannst Du es Dir mit x,y,z leichter vorstellen. Lege den Würfel mit einer Ecke in den Ursprung des Koordinatensystems. Gib ihm die Kantenlänge 1 (oder L oder was Du willst). Vektoriell kommst Du nun von der Ecke im Ursprung zur (raum)diagonal gegenüberliegenden, indem Du einen (L etc.) Schritt/e in x-Richtung (nach rechts), einen in y-Richtung (nach hinten) und einen in z-Richtung (nach oben) gehst.
Von einer anderen Ecke aus (welcher?) musst Du aber anders gehen, um die Raumdiagonale haben, nämlich einen ein x-Richtung (nach rechts, wie bei der anderen), dann aber einen gegen die y-Richtung (also nach vorn) und einen gegen die z-Richtung (also nach unten) gehst. Aha: Du bist von der Ecke links hinten oben zur Ecke rechts vorne unten gegangen.
Wegen der Symmetrie des Würfels genügt es, nur zwei beliebige der vier Raumdiagonalen auf Orthogonalität zu prüfen. Jetzt hast Du ja zwei.
> Dann haben wir das Skalarprodukt gebildet: e x f = (a+b+c)
> x (a-b-c)= [mm]a^2-b^2-c^2,[/mm] müsste hier nicht [mm]a^2-b^2-c^2-2bc[/mm]
> rauskommen?
Du hast Recht. Für das Skalarprodukt gilt das Distributivgesetz (nicht aber das Assoziativgesetz!), so dass Deine Rechnung genau stimmt.
Allerdings fällt der Term [mm] 2\vec{b}\vec{c} [/mm] ja weg (ist =0), da ja [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] senkrecht zueinander stehen.
Alles klar? 
lg
reverend
> dankeschön!
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