Rayleigh-Quotient < Eigenwertprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Polynomy |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zum Beweis eines Satzes für symmetrische Matrizen:
Für symmetrische Matrizen gilt bekanntlich: der maximale Rayleigh-Quotient ist der größte Eigenwert der Matrix. (analog für min.)
Dies würde ich gerne beweisen, und ich hab da auch schon was, aber ich finde, das stimmt nicht *g* (ist aber aus der Vorlesung meines Professors).
Also: A symmetrisch --> es ex. n reelle Eigenwerte [mm] $\lambda_1\le...,\le \lambda_n$ [/mm] zu orthogonalen Eigenvektoren [mm] $u_1,..., u_n$.
[/mm]
Also kann man einen bel. Vektor x als Linearkombination schreiben:
$$x= [mm] \summe_{i=1}^{n}c_i u_i [/mm] .$$
Also ist $$Ax= [mm] \summe_{i=1}^{n}c_i\lambda_i u_i$$ [/mm] und $$x^TAx= [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_i c_i^2.$$
[/mm]
Für A=I (Einheitsmatrix) hat man $$x^Tx= [mm] \summe_{i=1}^{n}c_i^2.$$
[/mm]
Bis dahin ist alles klar. Aber jetzt:
Da [mm] $$\lambda_1 \summe_{i=1}^{n}c_i^2 \le \summe_{i=1}^{n}\lambda_i c_i^2 \le \lambda_n \summe_{i=1}^{n}c_i^2$$ [/mm] gilt, folgt die Behauptung. Dass daraus die Beh. folgt, stimmt
(durch $$ [mm] \summe_{i=1}^{n} c_i^2 [/mm] $$ teilen), aber das 2. $ [mm] \le [/mm] $ -Zeichen ist doch nicht richtig??!!
[mm] $\lambda_1$ [/mm] ist der kleinste EW, also stimmt das 1. Zeichen, aber wen ich alle [mm] $\lambda_i$ [/mm] in die Summe schreibe ist das doch nicht zwangsläufig kleiner als wenn ich den größten EW [mm] $\lambda_n$ [/mm] davor schreibe, oder???
Wer kann mir helfen?
Danke!
|
|
| |
|
Hallo Polynomy,
doch, das stimmt doch: Alle [mm] \lambda_i [/mm] sind kleiner/gleich dem [mm] \lambda_n, [/mm] also auch
[mm] \lambda_i\cdot c_i^2\leq \lambda_n\cdot c_i^2 [/mm]
(weil [mm] c_i^2 [/mm] nicht-negativ ist), und dann kannst Du [mm] \lambda_n [/mm] aus der Summe herausziehen.
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
|
