Realteil komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt z1 =z2
z1=(3a-5)+(a-b)i; z2=(2a-7)-(3a+7)i |
Habe dann probiert und auch Ergebnisse heraus, aber bei meiner Überprüfung kam dann nicht heraus, dass z1 = z2 ist.
Ich habe beide Gleichungen gleich gesetzt:
(3a-5)+(a-b)=(2a-7)-(3a+7)i | -(2a-7)
(a-2)+(a-b)i=(3a+7)i | -(a-b)i
I a-2= 2a+7-b | -a;-7;+b
II a=-9+b
II in I:
(-9+b)-2=2(-9+b)+7-b
18-2b=-18+2b+7-b
b=7
a=-16
ich bin mir sicher, ich habe irgendwo einen Fehler gemacht, vielleicht könnt ihr mir helfen.
Dann noch eine andere Frage:
[mm] Re(\bruch{z}{\overline{z}}) [/mm] wie ist da die Menge von z?
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> Für welche a,b [mm]\in \IR[/mm] gilt z1 =z2
> z1=(3a-5)+(a-b)i; z2=(2a-7)-(3a+7)i
> Habe dann probiert und auch Ergebnisse heraus, aber bei
> meiner Überprüfung kam dann nicht heraus, dass z1 = z2
> ist.
>
> Ich habe beide Gleichungen gleich gesetzt:
Die beiden "Gleichungen"? - Du meinst doch wohl z1 und z2.
>
> (3a-5)+(a-b)=(2a-7)-(3a+7)i | -(2a-7)
> (a-2)+(a-b)i=(3a+7)i | -(a-b)i
> I a-2= 2a+7-b | -a;-7;+b
> II a=-9+b
Wo ist denn jetzt der Imaginärteil hingekommen???
>
> II in I:
> (-9+b)-2=2(-9+b)+7-b
> 18-2b=-18+2b+7-b
> b=7
> a=-16
>
> ich bin mir sicher, ich habe irgendwo einen Fehler gemacht,
> vielleicht könnt ihr mir helfen.
Ich denke, Du hättest besser so überlegt: [mm] $z_1=z_2$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $\mathrm{Re}(z_1)=\mathrm{Re}(z_2)$ [/mm] und [mm] $\mathrm{Im}(z_1)=\mathrm{Im}(z_2)$.
[/mm]
Damit hättest Du sogleich das lineare Gleichnungssystem
[mm]\begin{array}{clcl|l}
\text{(I)} & 3a-5 &=& 2a-7 &\text{weil $\mathrm{Re}(z_1)=\mathrm{Re}(z_2)$}\\
\text{(II)} & a-b &=& -(3a+7) & \text{weil $\mathrm{Im}(z_1)=\mathrm{Im}(z_2)$}\\\cline{2-4}
\end{array}[/mm]
mit der Lösung $a=-2, b=-1$ erhalten.
> Dann noch eine andere Frage:
>
> [mm]Re(\bruch{z}{\overline{z}})[/mm] wie ist da die Menge von z?
Du hast wohl eine Gleichung schreiben wollen - aber welche?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
ja dein Lösungsweg ist besser, hatte realteil und Imaginärteil miteinander vermischt. das war nicht so klug.
bei der zweiten aufgabe meine ich es so wie es da steht. also geben sie die Menge der komplexen zahlen an.
Der realteil von einer komplexen Zahl ist ja x=Re{x+yi}
z negiert ist x-yi
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> hallo,
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> ja dein Lösungsweg ist besser, hatte realteil und
> Imaginärteil miteinander vermischt. das war nicht so klug.
>
> bei der zweiten aufgabe meine ich es so wie es da steht.
> also geben sie die Menge der komplexen zahlen an.
Die Menge der komplexen Zahlen ist [mm] $\IC$. [/mm] - Aber diese Antwort dürfte Dir nicht gefallen. - Du möchtest etwas über eine Menge komplexer Zahlen (eine Teilmenge von [mm] $\IC$) [/mm] wissen, die eine gewisse zusätzliche Bedingung erfüllen. Aber welches ist denn nun genau diese (die fragliche Teilmenge von [mm] $\IC$ [/mm] definierende) zusätzliche Bedingung? [mm] $\mathrm{Re}\left(\tfrac{z}{\overline{z}}\right)$ [/mm] ist keine solche "Bedingung" (Aussageform, die ein [mm] $z\in \IC$ [/mm] erfüllen mag oder auch nicht): es ist ein blosser Term, der für ein gegebenes [mm] $z\in \IC$ [/mm] einen gewissen Wert [mm] $\in\IR$ [/mm] besitzen wird.
> Der realteil von einer komplexen Zahl ist ja x=Re{x+yi}
>
> z negiert ist x-yi
Du scheinst nicht an einer Menge interessiert zu sein, sondern an einer speziellen Form des Terms [mm] $\mathrm{Re}\left(\tfrac{z}{\overline{z}}\right)$. [/mm] Willst Du diesen Term mit Hilfe von Real- und Imaginärteil von $z$ schreiben? Etwa so:
[mm]\begin{array}{lcl}
\mathrm{Re}\left(\tfrac{z}{\overline{z}}\right) &=& \frac{x+\mathrm{i}y}{x-\mathrm{i}y}\\
&=& \frac{(x+\mathrm{i}y)^2}{x^2+y^2}\\
&=& \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\mathrm{i}\frac{2xy}{x^2+y^2}
\end{array}[/mm]
Moral von der Geschicht: Wenn schon die Frage keinen Sinn macht, wird die Anwort auch nicht das Gelbe vom Ei sein können...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
das war eine aufgabe aus einer Prüfung, die ich nicht lösen konnte. Kann mich nur noch daran erinnern, dass ich die Menge angeben sollte und a) [mm] Re(\bruch{z}{\overline{z}}) [/mm] war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Somebody |
> das war eine aufgabe aus einer Prüfung, die ich nicht lösen
> konnte. Kann mich nur noch daran erinnern, dass ich die
> Menge angeben sollte und a) [mm]Re(\bruch{z}{\overline{z}})[/mm]
> war.
Mag sein: nur macht das Fragment der Aufgabenstellung, an das Du Dich offenbar noch erinnern kannst, für sich alleine keinen (klaren) Sinn. Man kann allenfalls daran herumrätseln, wie dieses Fragement einer Aufgabenstellung zu etwas sinnvollem ergänzt werden könnte. Wenn Du zum Beispiel [mm] $\mathrm{Re}\left(\tfrac{z}{\overline{z}}\right)=0$ [/mm] geschrieben hättest, dann könnte man immerhin die Lösungsmenge dieser Gleichung in der komplexen Zahlenebene genauer (anschaulich) beschreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
ja genau so war es. [mm] Re(\bruch{z}{\overline{z}})=0
[/mm]
da habe ich immer überlegt [mm] \bruch{x}{-x}= [/mm] oder [mm] \bruch{x}{x}=0. [/mm] Bei letzterem würde dann ja immer 1 heraus kommen. macht doch dann keinen sinn. und beim ersten komme ich immer auf -1 macht auch keinen sinn. 0 dividiert durch 0 geht nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Oben hat Dir Somebody doch den Ausdruck [mm] $\bruch{z}{\overline{z}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+i*y}{\overline{x+i*y}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+i*y}{x-i*y} [/mm] \ = \ ...$ bereits vorgerechnet.
Wie lautet davon nun der Realteil? Und wann wird der gerade Null?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo
der Realteil ist doch x/x oder irre ich mich da? und wann der null wird weis ich nicht. hat das was mit dem imaginärteil zu tun?
ein bruch wird doch null, wenn zähler null wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
Hier wäre der realteil: [mm] \bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}
[/mm]
also wird der bruch null, wenn x=y ist? Also quasi wenn der Realteil=Imaginärteil von z ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
> Hier wäre der realteil: [mm]\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also wird der bruch null, wenn x=y ist? Also quasi wenn der
> Realteil=Imaginärteil von z ist?
Nicht ganz. Was wäre denn z.B. mit dem Fall $x \ = \ -y$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
müsste man noch ergänzen, dass der Realteil von [mm] (\bruch{z}{\overline{z}})=0, [/mm] wenn x=y und x=-y von z ist, da in beiden fällen der zähler null wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Toni!
Richtig. Oder kurz formuliert: $|x| \ = \ |y|$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> müsste man noch ergänzen, dass der Realteil von
> [mm](\bruch{z}{\overline{z}})=0,[/mm] wenn x=y und x=-y von z ist,
> da in beiden fällen der zähler null wird.
Du meinst es zwar richtig, die Sprache ist aber falsch. Wenn Du sagst $x=y$ [mm] $\mbox{ \underline{und} }$ [/mm] $x=-y$, so folgt $y=-y$ und daraus $x=y=0$.
Also:
[mm] $x^2=y^2$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $(x-y)*(x+y)=0$
[mm] $\gdw$ [/mm] $x=y$ [mm] $\mbox{ \underline{oder} }$ [/mm] $x=-y$.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Toni,
dass die "Regel" [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=\frac{x}{x}=1$ [/mm] i.a. NICHT für $z=x+i*y$ ($y,x [mm] \in \IR$) [/mm] gelten kann, erkennst Du auch schon konkret an dem Beispiel $z=1+i$.
Was ist denn [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{1+i}{1-i}\right)$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
[mm] \mbox{Re}\left(\frac{1+i}{1-i}\right)=\bruch{x²-y²}{x²+y²}=\bruch{1²-1²}{1²+1²}=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> [mm]\mbox{Re}\left(\frac{1+i}{1-i}\right)=\bruch{x²-y²}{x²+y²}=\bruch{1²-1²}{1²+1²}=0[/mm]
>
genau. Weiterhin ist aber
[mm] $\frac{\mbox{Re}(1+i)}{\mbox{Re}(1-i)}=\frac{1}{1}=1 \not=0$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mo 17.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Toni!
>
>
> Oben hat Dir Somebody
> doch den Ausdruck [mm]\bruch{z}{\overline{z}} \ = \ \bruch{x+i*y}{\overline{x+i*y}} \ = \ \bruch{x+i*y}{x-i*y} \ = \ ...[/mm]
> bereits vorgerechnet.
>
> Wie lautet davon nun der Realteil? Und wann wird der gerade
> Null?
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo Toni,
klemmts irgendwo? Erweitere mal den Bruch so, dass der Nenner reell wird (mit dem Zähler des Bruchs).
Gruß
Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Toni,
> ja genau so war es. [mm]Re(\bruch{z}{\overline{z}})=0[/mm]
>
> da habe ich immer überlegt [mm]\bruch{x}{-x}=[/mm] oder
> [mm]\bruch{x}{x}=0.[/mm] Bei letzterem würde dann ja immer 1 heraus
> kommen. macht doch dann keinen sinn. und beim ersten komme
> ich immer auf -1 macht auch keinen sinn. 0 dividiert durch
> 0 geht nicht.
dort steht ja auch nicht [mm] $\frac{z}{z}$ [/mm] oder [mm] $\frac{z}{-z}$, [/mm] sondern eben [mm] $\frac{z}{\overline{z}}$. [/mm] Ich habe keine Ahnung, was das mit [mm] $\frac{x}{x}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{x}{-x}$ [/mm] zu tun haben soll?
Kann es sein, dass Du irgendwelche Rechenregeln, deren Richtigkeit Du nur vermutest, benutzt? Sowas wie [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=\frac{\mbox{Re}(z)}{\mbox{Re}(\overline{z})}$ [/mm] oder noch allgemeiner:
[mm] $(\*)$ $\mbox{Re}\left(\frac{z}{y}\right)=\frac{\mbox{Re}(z)}{\mbox{Re}(y)}$ [/mm] für $y,z [mm] \in \IC$?
[/mm]
Eine Regel dieser Art darfst Du nämlich nicht benutzen, denn [mm] $(\*)$ [/mm] ist i.A. absolut falsch!
Sowas erkennst Du schnell, wenn Du den Realteil von [mm] $\frac{a+i*b}{c+i*d}$ [/mm] ($a,b,c,d [mm] \in \IR$) [/mm] errechnest (mit [mm] $c+i*d\not=0$):
[/mm]
[mm] $\frac{a+i*b}{c+i*d}=\frac{a+i*b}{c+i*d}*\frac{c-i*d}{c-i*d}=...$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] i.A. [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{a+i*b}{c+i*d}\right) \not=\frac{a}{c}$
[/mm]
(Du kannst auch mit konkreten komplexen Zahlen nachrechnen, dass [mm] $(\*)$ [/mm] i.a. falsch ist. Wenn Du oben nachguckst:
https://matheraum.de/read?i=381376,
erkennst Du das z.B. mit $c=a$ und $d=-b$ (d.h. [mm] $c+i*d=\overline{a+i*b}$).)
[/mm]
Also ich glaube, Du verwendest hier etwas "lax" Rechenregeln für komplexe Zahlen. Was übrigens z.B. gilt, wenn $y,z [mm] \in \IC$, [/mm] wäre:
[mm] $\mbox{Re}(y+z)=\mbox{Re}(y)+\mbox{Re}(z)$
[/mm]
(Wie würdest Du das beweisen?)
Also bevor Du eine "Rechenregel" für den Realteil anwenden willst, wäre es sinnvoll, zunächst mal zu überprüfen, ob diese überhaupt gilt. Wenn Du nicht so etwas wie [mm] $(\*)$ [/mm] oben benutzen wolltest, dann frage ich mich generell, wie Du von [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)$ [/mm] zu Termen wie [mm] $\frac{x}{x}$ [/mm] oder [mm] $\frac{x}{-x}$ [/mm] überhaupt kommst?
Ich meine, okay, wenn man sagt: Wir suchen alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=0$, [/mm] so kannst Du dann sagen:
Für $z=x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $\overline{z}=z=x$ [/mm] und daher [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=\mbox{Re}\left(\frac{x}{x}\right)=Re(1)=1$, [/mm] also kann es so ein $z [mm] \in \IR$ [/mm] nicht geben. D.h. dann aber nur:
Ist $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=0$, [/mm] so gilt jedenfalls $z [mm] \notin \IR$, [/mm] d.h. $z [mm] \in \IC \backslash \IR$. [/mm] Aber besonders stark ist diese Aussage nicht 
P.S.:
Eigentlich müßte ich oben auch $x [mm] \not=0$ [/mm] schreiben, aber das [mm] $\mbox{Re}\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=0$ [/mm] für $z=x=0$ nicht gelten kann, liegt daran, dass der Term [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] hier schon undefiniert ist.
Gruß,
Marcel
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
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