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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 19.10.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | Beweisen sie für x,y [mm] \in \IR:
[/mm]
a) x [mm] \ge [/mm] y > 0 [mm] \gdw [/mm] 0 < [mm] \bruch{1}{x} \le \bruch{1}{y}
[/mm]
b) 0<x<1 [mm] \Rightarrow [/mm] x²<x
c) x>1 [mm] \Rightarrow [/mm] x²>x |
Hallo alle zusammen.
Sind so ziemlich meine ersten Beweise die ich in Analysis I lösen muss.
Aber ich hab echt keine Ahnung wie ich das beweisen soll.
Also in der Vorlesung haben wir schon bewiesen, dass x²>0 ist, sobald x ungleich 0 ist und so Sachen, aber hier bin ich echt überfordert.
Hab mich auch mit einigen anderen zusammengesetzt, aber wir haben nichts rausgefunden.
Ich hoffe, hier kann mir wer helfen ;)
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Hallo Krone,
> Beweisen sie für x,y [mm]\in \IR:[/mm]
>
> a) x [mm]\ge[/mm] y > 0 [mm]\gdw[/mm] 0 < [mm]\bruch{1}{x} \le \bruch{1}{y}[/mm]
>
> b) 0<X<1 class=math <span>[mm]\Rightarrow[/mm]</SPAN> x²<X
>
> c) x>1 [mm]\Rightarrow[/mm] x²>x
> Hallo alle zusammen.
> Sind so ziemlich meine ersten Beweise die ich in Analysis
> I lösen muss.
> Aber ich hab echt keine Ahnung wie ich das beweisen soll.
>
> Also in der Vorlesung haben wir schon bewiesen, dass x²>0
> ist, sobald x ungleich 0 ist und so Sachen, aber hier bin
> ich echt überfordert.
> Hab mich auch mit einigen anderen zusammengesetzt, aber
> wir haben nichts rausgefunden.
Na, gar nichts?
Schaut euch mal die Anordnungsaxiome an.
Damit sollt ihr ein wenig herumspielen bei diesen Aufgaben.
Etwa zu b)
Aus den Anordnungsaxiomen folgt (habt ihr sicher gezeigt als Bsp. - sonst zeige es schnell selbst)
[mm]\forall a,b,c\in\IR: a0 \ \Rightarrow ac
Das kannst du doch für b) verwenden:
Es ist [mm]x>0[/mm] und [mm]x<1[/mm] also [mm]x\cdot{}x=x^2<1\cdot{}x=x[/mm] (1 ist neutral bzgl. Multiplikation)
>
> Ich hoffe, hier kann mir wer helfen ;)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Di 19.10.2010 | | Autor: | Krone |
Also was du zu b) geschrieben hast, habe ich vestanden.
Selber wäre ich da bestimmt nie drauf gekommen.
Aber beispielsweise zu a), da is x und 1/x, was ja das inverse Element zu x ist.
Inwiefern mir das weiterhilft weiss ich allerdings auch nicht ...
Ich seh die Anordnungsaxiome und die Aufgaben vor mir, aber irgendwie kan ich da keinen zusammenhang herstellen ...
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Hallo nochmal,
> Also was du zu b) geschrieben hast, habe ich vestanden.
> Selber wäre ich da bestimmt nie drauf gekommen.
>
> Aber beispielsweise zu a), da is x und 1/x, was ja das multiplikativ inverse Element zu x ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Inwiefern mir das weiterhilft weiss ich allerdings auch
> nicht ...
> Ich seh die Anordnungsaxiome und die Aufgaben vor mir,
> aber irgendwie kan ich da keinen zusammenhang herstellen
> ...
Wieso nicht?
Zeige mal [mm]x>0\gdw\frac{1}{x}>0[/mm]
Dazu kannst du beide Richtungen mit Widerspruchsbeweis zeigen:
Führe [mm]z<0[/mm] stets zurück auf [mm]-z>0[/mm]!
[mm]\Rightarrow[/mm]: sei [mm]x>0[/mm]
Ann: [mm]\frac{1}{x}<0\Rightarrow -\frac{1}{x}>0[/mm]
Nun schaue nochmal auf das Axiom aus der ersten Antwort.
Zeige auch die andere Richtung und verwende das für a)
Mache dort evt. Fallunterscheidung: x=y (das ist dann hiemit bewiesen) und [mm]x>y[/mm]
Probiere einfach mal ein bisschen rum und versuche dabei, deine Umformungen schön zu begründen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Di 19.10.2010 | | Autor: | Krone |
> Wieso nicht?
>
> Zeige mal [mm]x>0\gdw\frac{1}{x}>0[/mm]
>
> Dazu kannst du beide Richtungen mit Widerspruchsbeweis
> zeigen:
>
> Führe [mm]z<0[/mm] stets zurück auf [mm]-z>0[/mm]!
Ich versteh nicht so richtig, was ich hier mit Widerspruchsbeweis zeigen soll ... hmm
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]: sei [mm]x>0[/mm]
>
> Ann: [mm]\frac{1}{x}<0\Rightarrow -\frac{1}{x}>0[/mm]
>
> Nun schaue nochmal auf das Axiom aus der ersten Antwort.
>
> Zeige auch die andere Richtung und verwende das für a)
>
> Mache dort evt. Fallunterscheidung: x=y (das ist dann
> hiemit bewiesen) und [mm]x>y[/mm]
>
>
>
> Probiere einfach mal ein bisschen rum und versuche dabei,
> deine Umformungen schön zu begründen ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Danke für deine Hilfe, aber auch nach mehrmaligem durchlesen deiner Antwort weiss ich überhaupt nicht, was ich tun soll ...
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Hallo nochmal,
> > Wieso nicht?
> >
> > Zeige mal [mm]x>0\gdw\frac{1}{x}>0[/mm]
> >
> > Dazu kannst du beide Richtungen mit Widerspruchsbeweis
> > zeigen:
> >
> > Führe [mm]z<0[/mm] stets zurück auf [mm]-z>0[/mm]!
>
> Ich versteh nicht so richtig, was ich hier mit
> Widerspruchsbeweis zeigen soll ... hmm
Hier nichts, das ist doch eine Schreibweise [mm]x<0\gdw -x>0[/mm]
Damit du auf [mm]>0[/mm] kommst!
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]: sei [mm]x>0[/mm]
> >
> > Ann: [mm]\frac{1}{x}<0\Rightarrow -\frac{1}{x}>0[/mm]
Hier steckt der Widerspruchsbeweis, angenommen, es wäre so, dann könnten wir nach dem Axion oben mit [mm]x>0[/mm] multiplizieren und erhielten:
[mm]-\frac{1}{x}\cdot{}x>0\cdot{}x=0[/mm], also [mm]-1>0[/mm] WIDERSPRUCH, also Ann. falsch und [mm]\frac{1}{x}>0[/mm]
>
> >
> > Nun schaue nochmal auf das Axiom aus der ersten Antwort.
> >
> > Zeige auch die andere Richtung und verwende das für a)
> >
> > Mache dort evt. Fallunterscheidung: x=y (das ist dann
> > hiemit bewiesen) und [mm]x>y[/mm]
> >
> >
> >
> > Probiere einfach mal ein bisschen rum und versuche dabei,
> > deine Umformungen schön zu begründen ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
>
> Danke für deine Hilfe, aber auch nach mehrmaligem
> durchlesen deiner Antwort weiss ich überhaupt nicht, was
> ich tun soll ...
Naja, es ist halt ein Herumspielen und Herumprobieren mit den Axiomen der rellen Zahlen.
[mm]x=y[/mm] haben wir, machen wir den Fall [mm]x>y>0[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass [mm]0<\frac{1}{x}<\frac{1}{y}[/mm]
Dass mit [mm]x,y>0[/mm] auch [mm]\frac{1}{x},\frac{1}{y}>0[/mm] sind, haben wir soeben gezeigt.
Bleibt zu zeigen: [mm]\frac{1}{y}>\frac{1}{x}[/mm]
Multipliziere hier mit [mm]x>0[/mm] und [mm]y>0[/mm] ...
Die andere Richtung der Äquivalenz geht ganz analog ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Di 19.10.2010 | | Autor: | Krone |
Vielen Dank, ich glaub ich hab es jetzt richtig gemacht :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 19.10.2010 | | Autor: | Krone |
> Hallo Krone,
> Na, gar nichts?
>
> Schaut euch mal die Anordnungsaxiome an.
>
> Damit sollt ihr ein wenig herumspielen bei diesen
> Aufgaben.
>
> Etwa zu b)
>
> Aus den Anordnungsaxiomen folgt (habt ihr sicher gezeigt
> als Bsp. - sonst zeige es schnell selbst)
>
> [mm]\forall a,b,c\in\IR: a0 \ \Rightarrow ac
>
> Das kannst du doch für b) verwenden:
>
> Es ist [mm]x>0[/mm] und [mm]x<1[/mm] also [mm]x\cdot{}x=x^2<1\cdot{}x=x[/mm] (1 ist
> neutral bzgl. Multiplikation)
>
> >
> > Ich hoffe, hier kann mir wer helfen ;)
>
> Gruß
>
>
> schachuzipus
>
also die a) und c) hab ich jetzt, bei der b) ist mir aber nochwas aufgefallen:
Und zwar beweise ich mit deiner Vorgehensweise:
x² < x / *x
=> x<1
ja nur dass x<1 sein muss.
Wie bekomm ichdenn noch raus, dass x auch größer 0 sein muss?
Das ist ja auch Vorraussetzung ... hab hier rumprobiert, bekomme es aber nicht raus ...
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Hallo nochmal,
> > Hallo Krone,
>
> > Na, gar nichts?
> >
> > Schaut euch mal die Anordnungsaxiome an.
> >
> > Damit sollt ihr ein wenig herumspielen bei diesen
> > Aufgaben.
> >
> > Etwa zu b)
> >
> > Aus den Anordnungsaxiomen folgt (habt ihr sicher gezeigt
> > als Bsp. - sonst zeige es schnell selbst)
> >
> > [mm]\forall a,b,c\in\IR: a0 \ \Rightarrow ac
>
> >
> > Das kannst du doch für b) verwenden:
> >
> > Es ist [mm]x>0[/mm] und [mm]x<1[/mm] also [mm]x\cdot{}x=x^2<1\cdot{}x=x[/mm] (1 ist
> > neutral bzgl. Multiplikation)
> >
> > >
> > > Ich hoffe, hier kann mir wer helfen ;)
> >
> > Gruß
> >
> >
> > schachuzipus
> >
>
>
> also die a) und c) hab ich jetzt, bei der b) ist mir aber
> nochwas aufgefallen:
>
> Und zwar beweise ich mit deiner Vorgehensweise:
>
> x² < x / *x
>
> => x<1
> ja nur dass x<1 sein muss.
Da schmeißt du doch was durcheinander, schreiben wir das nochmal systematischer und sauberer auf:
zu zeigen ist: [mm]0
Vor. ist also: sei [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]\red{00}[/mm])
Dann betrachte den rechten Teil der Vor., nach dem [mm]x<1[/mm] ist.
Mit [mm]\red{x>0}[/mm] folgt durch Multiplikation (siehe 1.Antwort) [mm]x\cdot{}\red{x}>1\cdot{}\red{x}[/mm], also [mm]x^2>x[/mm], was zu zeigen war!
>
> Wie bekomm ichdenn noch raus, dass x auch größer 0 sein
> muss?
> Das ist ja auch Vorraussetzung
Eben! Aber trotzdem bitte nur ein "r"!
> ... hab hier rumprobiert,
> bekomme es aber nicht raus ...
Das liegt mit Sicherheit zu einem Teil daran, dass es hier etwas drunter und drüber geht und die Ordnung im thread nicht so ganz einfach zu sehen ist ...
Nun sollte es aber klar werden.
Gruß
schachuzipus
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