www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Rechenregel im Vektorraum
Rechenregel im Vektorraum < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rechenregel im Vektorraum: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:31 Sa 20.11.2004
Autor: tobes

Hallo!
Im Leistungskurs Mathematik Klasse 13 behandeln wir zur Zeit Vektorräumen. Dabei beweisen wir auch einige Rechenregeln, die innerhalb dieser Vektorräume gelten und direkt aus den Vektorraumaxiomen herzuleiten sind.
Meine Frage ist nun, wie ich die folgende Aussage beweise:

r * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{0} \Rightarrow [/mm] r=0  [mm] \vee \vec{a}=\vec{0} [/mm] (r [mm] \in \IR [/mm] , [mm] \vec{a} \in [/mm] V)

Nun hab ich mir gedacht, dass eine Fallunterscheidung zu machen wäre.
1. Fall r [mm] \not= [/mm] 0: r * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{0} \gdw \bruch{1}{r} [/mm] * r  * [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] * [mm] \vec{0}. [/mm]  Also 1* [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{r} [/mm] * [mm] \vec{0} [/mm] und nach den Vektorraumaxiomen [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vec{0}. [/mm]

Wie aber ist nun der zweite Fall für [mm] \vec{a} \not= \vec{0} [/mm] zu beweisen?
Ich will diesen Schritt nämlich direkt zeigen und NICHT durch einen Beweis durch Widerspruch.  Hat jemand dazu eine Idee?

Vielen Dank schonmal

tobes

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Rechenregel im Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:26 Sa 20.11.2004
Autor: baskolii

Hi!

[mm] r*\vec{a}=0 \gdw r*\vec{a}+(-r)*\vec{a}=0+(-r)*\vec{a} [/mm]
[mm] \gdw 0=(-r)*\vec{a} [/mm]
[mm] \Rightarrow r*\vec{a}=(-r)*\vec{a} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (da [mm] \vec{a}\not=0) [/mm] r=-r [mm] \gdw [/mm] r=0

mfg Verena





Bezug
                
Bezug
Rechenregel im Vektorraum: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Sa 20.11.2004
Autor: tobes

Warum folgt aus r [mm] \cdot \vec{a} [/mm] = (-r) [mm] \cdot \vec{a}, [/mm] dass r=(-r) ist wenn [mm] \vec{a} \not= [/mm] 0 ist ? Kann man das auf die Vektorraumaxiome zurückführen?

Bezug
                        
Bezug
Rechenregel im Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 Sa 20.11.2004
Autor: Bastiane

Hallo!
Also ich versuche mal, dir die einzelnen Schritte zu erklären, schreibe sie aber unter die Antwort...
Viele Grüße
Bastiane
[banane]

Bezug
                        
Bezug
Rechenregel im Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 So 21.11.2004
Autor: Christian

Ja, kann man, denn:
(-r)a ist nach VR-Axiomen ((-1)*r)*a=-1*(ra)=-ra.
=> aus ra=(-r)a => ra+ra=0 und mit Distributivgesetz (einmal in K, einmal in V):
(r+r)a=((1+1)r)a=(2r)a=0.
r muß, wenn a nicht der Nullvektor ist, dann aber das Nullelement im Körper sein, denn [mm]0_K*a = \lambda*0_V = 0_V (\lambda \in K)[/mm]
Dies kann man wiederum mit Hilfe der VR-Axiome beweisen, z.B. so:
[mm]0_K*a + 1_K*a = (0+1)*a = 1*a \Rightarrow 0_V = 0_K*a \lambda*a = \lambda*a + 0_V = \lambda*(a+0_V) = \lambda*a + \lambda*0_V \Rightarrow \lambda*0_V = 0_V[/mm].

Das schwierige an solchen Geschichten ist, daß sie unserem Denken so vertraut sind, daß man sich schwertut, sie irgendwie auf ein möglichst kleines Fundament an Axiomen zurückzuführen.
Genau das ist aber die große Stärke die in der Algebra liegt und das, was irgendwie fasziniert. Mich zumindest.

Gruß,
Christian


Bezug
                
Bezug
Rechenregel im Vektorraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Sa 20.11.2004
Autor: Bastiane

Hallo!
Hier mal ein paar Erklärungen:

> [mm]r*\vec{a}=0 \gdw r*\vec{a}+(-r)*\vec{a}=0+(-r)*\vec{a} [/mm]

hier wurde auf beiden Seiten [mm] (-r)*\vek{a} [/mm] addiert, also das Inverse zu [mm] r*\vek{a} [/mm]

> [mm][mm] \gdw 0=(-r)*\vec{a} [/mm]

Hier hast du genau ein Element und sein Inverses stehen, was das neutrale Element ergibt (im Fall der Addition also 0)
Jetzt hast du also zwei Gleichungen, die beide 0 sein sollen, also sind sie beide gleich und du kannst schreiben:

>  [mm][mm] \Rightarrow r*\vec{a}=(-r)*\vec{a} [/mm]

Nun gilt aber, dass ein Produkt genau dann = 0 ist, wenn mindestens einer der beiden Faktoren = 0 ist. Und wenn [mm] \vek{a}\not= [/mm] 0 ist, muss in der einen Gleichung r=0 sein und in der anderen (-r) = 0. Und wenn sowohl r als auch (-r) = 0 sind, dann sind sie natürlich beide gleich und es gilt r=(-r). Und diese Gleichung gilt nur für r=0, wie man sich leicht denken kann.

> [mm]\Rightarrow[/mm] (da [mm]\vec{a}\not=0)[/mm] r=-r [mm]\gdw[/mm] r=0

Ui, das letzte war vielleicht doch etwas seltsam formuliert, vielleicht nochmal etwas anders:

Wenn du hast:
[mm] r*\vec{a}=(-r)*\vec{a} [/mm]
und dein a ist [mm] \not= [/mm] 0, dann kannst du durch a teilen und schon erhältst du r=-r, und das gilt nur für r=0.

Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Bastiane
[banane]


Bezug
                        
Bezug
Rechenregel im Vektorraum: Nicht durch Vektoren teilen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:04 So 21.11.2004
Autor: Marcel

Hallo Bastiane,

> Wenn du hast:
> [mm] $r*\vec{a}=(-r)*\vec{a}$ [/mm]
> und dein a ist [mm]\not=[/mm] 0, dann kannst du durch a teilen und
> schon erhältst du r=-r, und das gilt nur für r=0.

Nein! Wo steht denn in den Vektorraumaxiomen, dass es eine Multiplikation zwischen zwei Vektorraumelementen gibt? Aber selbst wenn es die gäbe, bräuchte man immer noch die Existenz eines inveresen Elementes bzgl. dieser Multiplikation, denn die Division ist i.A. nichts anderes als die Multiplikation mit einem entsprechenden inversen Element (zumindest kenne ich das nicht anders).

Was man folgern kann:
Aus [mm] $r*\vec{a}=(-r)*\vec{a}$ [/mm] folgt (die Rechnung ist etwas verkürzt, da fehlen noch ein paar Zwischenschritte):
[mm] $\vec{0}=r*\vec{a}+r*\vec{a}=(r+r)*\vec{a}=2r*\vec{a}$ [/mm]

Ist nun $r=0$, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls ist auch [mm] $2r\not=0$, [/mm] und wir gehen vor wie im ersten Falle und erhalten [mm] $\vec{a}=\vec{0}$, [/mm] im Widerspruch (Mist, sowas wollten wir doch nicht) zu [mm] $\vec{a}\not=\vec{0}$. [/mm]

Viele Grüße,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Rechenregel im Vektorraum: Zweiter Fall: r=0
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:32 So 21.11.2004
Autor: Marcel

Hallo tobes,

> Hallo!
>  Im Leistungskurs Mathematik Klasse 13 behandeln wir zur
> Zeit Vektorräumen. Dabei beweisen wir auch einige
> Rechenregeln, die innerhalb dieser Vektorräume gelten und
> direkt aus den Vektorraumaxiomen herzuleiten sind.
>  Meine Frage ist nun, wie ich die folgende Aussage
> beweise:
>  
> r * [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{0} \Rightarrow[/mm] r=0  [mm]\vee \vec{a}=\vec{0}[/mm]
> (r [mm]\in \IR[/mm] , [mm]\vec{a} \in[/mm] V)
>  
> Nun hab ich mir gedacht, dass eine Fallunterscheidung zu
> machen wäre.
>  1. Fall r [mm]\not=[/mm] 0: r * [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{0} \gdw \bruch{1}{r}[/mm]
> * r  * [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{r}[/mm] * [mm]\vec{0}.[/mm]  

Naja, präzieser:
[mm] $r*\vec{a}=\vec{0}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $\frac{1}{r}*\left(r*\vec{a}\right)=\frac{1}{r}*\vec{0}$ [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm]  
[mm] $\left(\frac{1}{r}*r\right)*\vec{a}=\vec{0}$ [/mm] (Diesen Schritt ("Klammervertauschbarkeit") hattest du übersprungen; der Schritt ist aber nur zulässig wegen einem Vektorraumaxiom!)
[mm] $\gdw$ [/mm]

> Also 1* [mm]\vec{a}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{r}[/mm] * [mm]\vec{0}[/mm] und nach den Vektorraumaxiomen
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vec{0}. [/mm]

Beachte aber hierbei, dass du in deine Beweis den Sachverhalt:
[mm] $(\star)$ $t*\vec{0}=\vec{0}$ $\forall [/mm] t [mm] (\in \IR?)$ [/mm] (oder betrachtet ihr sogar Vektorräume über einem beliebigen Körper?)
benutzt (und zwar an der Stelle, wo du aus [mm] $1*\vec{a}=\frac{1}{r}*\vec{0}$ [/mm] folgerst:
[mm] $\vec{a}=\vec{0}$. [/mm] Da steht nämlich drin, dass [mm] $\frac{1}{r}*\vec{0}=\vec{0}$ [/mm] gilt). Habt ihr das schon bewiesen?

>  
> Wie aber ist nun der zweite Fall für [mm]\vec{a} \not= \vec{0}[/mm]
> zu beweisen?

Der zweite Fall ist nur ungünstig gewählt:
Wenn der erste Fall [mm] $r\not=0$ [/mm] ist, ist der zweite Fall doch $r=0$. Also hast du im zweiten Fall nichts zu beweisen (denn wenn $r=0$ gilt, dann gilt insbesondere ($r=0$ [mm] $\vee$ $\vec{a}=\vec{0}$)) [/mm] ;-).
(Bewiesen worden sollte dann aber bereits sein:
[mm] $0*\vec{a}=\vec{0}$ $\forall \vec{a} \in [/mm] V$. Habt ihr das schon bewiesen?)

Liebe Grüße,
Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de