Rechenregeln für Ableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Sa 02.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \IR^n \to \IR [/mm] stetig diffbar mit f(0)=0 und [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_j} [/mm] (0) > 0 für alle j=1,...,n. Zeige, dass es eine Umgebung U von 0 gibt, so dass f(x)>0 für alle [mm] x=(x_1 [/mm] ,..., [mm] x_n) \in [/mm] U mit [mm] x_1 [/mm] >0, ..., [mm] x_n>0 [/mm] gilt |
Hallo,
ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich obige Aufgabe angehen soll. Mir ist auch nicht klar, in welchen Themenbereich ich sie einordnen soll. Deshalb habe ich das auch so allgemein gehalten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Sa 02.08.2014 | | Autor: | chrisno |
Versuch es mal mit einem Widerspruchsbeweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Sa 02.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Also soll ich annehmen dass f (x) kleiner gleich 0 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Sa 02.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also soll ich annehmen dass f (x) kleiner gleich 0 ist?
Quatsch. Du sollst
voraussetzen: Es sei [mm] $f\,$ [/mm] stetig differenzierbar mit [mm] $f(0)=0\,$ [/mm]
und [mm] $\partial f(0)/\partial x_j [/mm] > 0$ für alle [mm] $j\,;$
[/mm]
und dann
annehmen: In jeder [mm] $\epsilon\,$-Umgebung [/mm] der [mm] 0($\in \IR^n$) [/mm] gibt es ein Tupel
[mm] $(x_1,...,x_n)$ [/mm] so, dass [mm] $x_1 [/mm] > [mm] 0,...,x_n [/mm] > 0$ und [mm] $f((x_1,...,x_n)) \le 0\,.$
[/mm]
Ich würde auch sagen, dass Du es Dir "anschaulicher" machen kannst, indem
Du anstatt [mm] $\IR_+ \ni \epsilon \to [/mm] 0$ ein wenig spezieller (aber hier dennoch
hinreichend allgemein) [mm] $\epsilon=\epsilon_m=\frac{1}{m}$ [/mm] benutzt.
Also: In jeder [mm] $1/m\,$-Umgebung [/mm] der $0 [mm] \in \IR^n$ [/mm] finden wir ein [mm] $x^{(m)}=(x^{(m)}_1,...,x^{(m)}_n) [/mm] > (0,...,0)$
(das ist eine Kurznotation dafür, dass alle Einträge des linken Vektors [mm] $>\,0$ [/mm]
sein sollen!) so, dass
[mm] $f(x^{(m)}) \le 0\,.$
[/mm]
Jetzt musst Du natürlich noch irgendwie
[mm] "$\partial f(0)/\partial x_j [/mm] > 0$ für alle [mm] $j\,;$ [/mm] und die Stetigkeit der Ableitung (insbesondere in $0 [mm] \in \IR^n$)"
[/mm]
*verbraten* und damit dann einen sichtbaren Widerspruch erzeugen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Sa 02.08.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Ein weiterer Tipp:
Überlege Dir, dass Du bei der Folge [mm] $(x^{(m)})_{m=1}^\infty$ [/mm] eine Teilfolge [mm] $(x^{(m_k)})_{k=1}^\infty$ [/mm] so finden
kannst, dass diese *Gegenannahme* nur bzgl. einer Koordinate gilt. Wenn
unklar ist, was ich meine, dann formuliere ich das auf Rückfrage auch
genauer und mathematischer aus. Diese kurze Zwischenüberlegung hilft
jedenfalls zur übersichtlicheren Argumentation!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 So 03.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Es wäre gut, wenn du das ausführen könntest. Das Problem bei der Aufgabe ist , dass ich auch gar nicht erkenne, was dahintersteckt, und welche Sätze ich hier anwenden soll..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 So 03.08.2014 | | Autor: | hippias |
Eine eindimensionale Veranschaulichung des Problems koennte so lauten: Du hast eine Funktion $f$, die im Koordinatenursprung startet ($f(0)=0$) und positive Steigung hat. Dann verlaeuft die Funktion nach rechts ersteinmal oberhalb der $x$-Achse.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 So 03.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hippias,
> Eine eindimensionale Veranschaulichung des Problems koennte
> so lauten: Du hast eine Funktion [mm]f[/mm], die im
> Koordinatenursprung startet ([mm]f(0)=0[/mm]) und positive Steigung
> hat. Dann verlaeuft die Funktion nach rechts ersteinmal
> oberhalb der [mm]x[/mm]-Achse.
in Deiner Beschreibung findet die Stetigkeit der Ableitung keine Verwendung.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 So 03.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es wäre gut, wenn du das ausführen könntest. Das Problem
> bei der Aufgabe ist , dass ich auch gar nicht erkenne, was
> dahintersteckt, und welche Sätze ich hier anwenden soll..
ja, das was ich machen wollte, ist vermutlich doch nicht so ganz klar. Das war
gestern ein gedanklicher Schnellschuss, der noch Tücken hat. Die muss ich
erst mal schließen (ist vermutlich machbar), aber ich werde erst spät oder
auch erst morgen dazu kommen, mehr dazu zu sagen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 So 03.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Es wäre gut, wenn du das ausführen könntest. Das Problem
> bei der Aufgabe ist , dass ich auch gar nicht erkenne, was
> dahintersteckt, und welche Sätze ich hier anwenden soll..
vielleicht machen wir es auch anders:
Es war $f(0)=0\,,$ $f\,$ war stetig diff'bar und es war $\partial f(0)/\partial x_j > 0$ für
$j=1,\ldots,n.$
Was gilt denn per Definitionem der Ableitung dann:
$f(x)=f(0)+(\nabla f(x^{(0)}=0))' \cdot x+\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x)*\|x-0\|=(\nabla f(0))' \cdot x+\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x)*\|x-0\|$
$=\{(\nabla f(0))'*\tfrac{x}{\|x\|}+\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x)}\}*\|x\|$
mit ... (siehe ![[]](/images/popup.gif) Definition 19.6Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
).
Ich sehe jetzt gar nicht, wieso man die Stetigkeit der partiellen Ableitung
brauchen sollte:
$\IR^n \supseteqq \partial K_1(0):=\{y \in \IR^n:\;\,\|y\|=1\}$ ist kompakt und dann auch $D:=\partial K_1(0) \cap \{r \in \IR^n:\;\; (r_1,...,r_n) \ge (0,...,0)\}$
und
$g \colon D \ni y \mapsto (\nabla f(0))'*y$ nimmt als stetige Funktion auf einer kompakten
Menge ihr Infimum/Minimum an.
Zu zeigen: Dieses ist $> 0\,.$ Das ist aber klar. (Oder? Ich meine, $y \in \IR^n$ mit
$y > 0 \in \IR^n$ und $\|y\|=1$ muss wenigstens einen Eintrag haben, der
$> 0\,$ ist. Sei dieser Eintrag an der Stelle $j\,\,.$ Dann ist
$(\nabla f(0))'*y \ge \frac{\partial f(0)}{\partial x_j}*y_j > 0\,.$
Und wenn $y \in D$ so ist, dass $g(y)\,$ minimal, dann stellst Du genau diese
Überlegung an.)
Bekommst Du das zu Ende überlegt?
(Sei nun $p > 0\,$ mit
$(\nabla f(0))'*\tfrac{x}{\|x\|} \ge p$
für alle $x > 0$ nahe der $0 \in \IR^n\,.$ Wegen $\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x) \to 0$ bei $x \to 0$ folgt...
"Grobgesagt": Für $x > 0 \in \IR^n\,$ - egal, wie klein, sofern *genügend* klein - wird
$\{(\nabla f(0))'*\tfrac{x}{\|x\|}+\varepsilon_{x^{(0)}=0}(x)}\}$
immer $\ge$ einer (echt) positiven Zahl bleiben. Wenn ich die dann nochmal
mit $\|x\| > 0$ multipliziere, ist das Produkt eine untere Grenze für $f(x)\,,$ und
diese ist (echt) positiv. Also muss es dann auch $f(x)\,$ sein.)
P.S. Wenn ich das richtig sehe, sehen wir oben eigentlich:
Ist $f \colon \IR^n \to \IR$ mit $f(0)=0\,$ und differenzierbar in $0 \in \IR^n$ und
$\partial f(0)/\partial x_j > 0$ für alle $j\,,$ dann folgt schon:
Es gibt eine Nullumgebung so, dass in dieser für alle $x=(x_1,...,x_n)$ mit $x > 0 \in \IR^n$ auch
$f(x) > 0\,$
gilt. Wozu die Stetigkeit der partiellen Ableitungen (insbesondere in $0\,$?) bei
Euch benötigt wird, vermag' ich nicht zu sagen. Eventuell, weil der
vorgeschlagene Beweis auf einen Satz zurückgreift, wo man dieses
benötigen würde. Ich sehe dafür aber momentan keine Notwendigkeit.
(Vielleicht habe ich ja was übersehen?)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\IR^n \to \IR[/mm] stetig diffbar mit f(0)=0 und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_j}[/mm] (0) > 0 für alle
> j=1,...,n. Zeige, dass es eine Umgebung U von 0 gibt, so
> dass f(x)>0 für alle [mm]x=(x_1[/mm] ,..., [mm]x_n) \in[/mm] U mit [mm]x_1[/mm] >0,
> ..., [mm]x_n>0[/mm] gilt
> Hallo,
>
> ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich obige
> Aufgabe angehen soll. Mir ist auch nicht klar, in welchen
> Themenbereich ich sie einordnen soll. Deshalb habe ich das
> auch so allgemein gehalten.
Aus [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_j}[/mm] (0) > 0 für alle
j=1,...,n und der Stetigkeit der partiellen Ableitungen folgt:
Es gibt eine konvexe Umgebung U von 0 mit:
[mm] f_{x_j}(s)>0 [/mm] für j=1,...,n und alle s [mm] \in [/mm] U.
Sei [mm] x=(x_1,...,x_n) \in [/mm] U mit [mm] x_j [/mm] >0 (j=1,...,n).
Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein s auf der Verbindungsstrecke von 0 und x (aalso auch s [mm] \in [/mm] U) mit:
[mm] f(x)=f(x)-f(0)=\summe_{j=1}^{n}f_{x_j}(s)*x_j [/mm] >0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mo 04.08.2014 | | Autor: | Trikolon |
Und das wars schon? Wenn man mal darauf kommt ists gar nicht so schwer. ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mo 04.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und das wars schon?
Ja.
> Wenn man mal darauf kommt ists gar
> nicht so schwer. ..
Das ist meist so ....
Hast Du Dir die Lösung von Marcel auch angesehen, die mit weniger Vor. auskommt ?
FRED
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