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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:29 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle a,b,x,y [mm] \in \IR, [/mm] a,b>1, gilt:
a) x < y [mm] \Rightarrow a^{x}
b) a < b [mm] \Rightarrow \begin{cases} a^{x}0} \\ a^{x}>b^{x}, & \mbox{für } x \mbox{ <0} \end{cases}
[/mm]
c) [mm] a^{x}*a^{y}=a^{x+y}
[/mm]
d) [mm] a^{x*y}=(a^{x})^{y} [/mm] |
[mm] Hinweis:sup(A)*sup(B)=sup\{a*b:a\in A, b \in B\}
[/mm]
Guten Morgen,
ich versuche grad diese Aussagen zu beweisen, aber komme nicht sehr weit, weil ich keinen richtigen Ansatz finde.
Bei der a) z.B. bringt mir der Hinweis auch nicht viel.
Ich weiß nicht genau, wie man an einen solchen Beweis rangeht.Es gibt ja verschiedene Beweismethoden, z.B. direkter Beweis, Widerspruchsbeweis, Induktion.
Ich denke,dass man das hier direkt beweisen kann, aber hab wirklich keine Ahnung wie ich anfangen kann.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte, wie ich überhaupt anfangen kann.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Sa 11.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wie habt Ihr denn [mm] a^x [/mm] definiert ? Vielleicht können wir mit dem Hinweis etwas anfangen, wenn wir das wissen.
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 So 12.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Wie habt Ihr denn [mm]a^x[/mm] definiert ? Vielleicht können wir
> mit dem Hinweis etwas anfangen, wenn wir das wissen.
Wir haben die rellen Exponenten so definiert:
Sei a>0, x [mm] \in \IR. [/mm] Betrachte [mm] A(a,x)=\{a^{q}| q \in \IQ, q \le x\}.
[/mm]
Wir zeigen, dass A(a,x) von oben beschränkt ist:
Ist q [mm] \le [/mm] x, so folgt q [mm] \le [/mm] [x]+1. Ist nun a>1, dann folgt [mm] a^{q} \le a^{[x]+1}:
[/mm]
die rechte Seite ist die obere Schranke von A(a,x).
Damit existiert [mm] sup(a,x)=:a^{x}.
[/mm]
Ist a<1, dann [mm] a^{x}:=\bruch{1}{a}^{-x}.
[/mm]
( [] ist die Gauß-Klammer).
So, das ist unsere Definition, ich finde aber trotzdem keinen Ansatz, kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 12.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist also [mm] a^x:= [/mm] supA(a,x)
Zu: x < y $ [mm] \Rightarrow a^{x}
Ist x<y, so ist A(a,x) [mm] \subseteq [/mm] A(a,y) und damit [mm] a^x\le a^y. [/mm] Nun ünerlege Dir noch: [mm] a^x \ne a^y
[/mm]
FRED
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> Es ist also [mm]a^x:=[/mm] supA(a,x)
>
> Zu: x < y [mm]\Rightarrow a^{x}
>
> Ist x<y, so ist A(a,x) [mm]\subseteq[/mm] A(a,y) und damit [mm]a^x\le a^y.[/mm]
> Nun ünerlege Dir noch: [mm]a^x \ne a^y[/mm]
Da a<b ist nach Vorraussetzung, kann nicht a=b sein und somi ist [mm] a^{x}
Die b) geht dann analog.
c) Zu zeigen: [mm] a^{x}\cdot{}a^{y}=a^{x+y}.
[/mm]
Es ist [mm] a^{x}=supA(a,x), a^{y}= [/mm] supA(a,y).
Setze supA(a,x)=A und supA(a,y)=B
[mm] a^{x}*a^{y}=sup(A)*sup(B)=sup(A*B)=...=supA(a,x+y).Das [/mm] müsste am Ende herauskommen.
Also es ist A*B=supA(a,x)*supA(a,y), aber ab hier weiß ich nicht mehr wie ich das weiter umformen kann,damit am Ende supA(a,x+y) rauskommt.?
d) Zu [mm] zeigen:a^{x\cdot{}y}=(a^{x})^{y}.
[/mm]
Es ist [mm] a^{x*y}=supA(a,x*y) [/mm] und [mm] (a^{x})^{y}=supA(a^{x},y) [/mm] und [mm] a^{x}=supA(a,x).
[/mm]
Ich muss also zeigen,dass
[mm] supA(a,x*y)=supA(a^{x},y) [/mm] und ich kann noch schreiben, dass
[mm] supA(a^{x},y)=supA(supA(a,x),y). [/mm] Jetzt hab ich aber eine Verkettung von Suprema und weiß leider nicht wie ich mit dieser umgehen kann/soll.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Mi 15.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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