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| Aufgabe | Berechne das Integral
[mm] \integral_{2}^{-1}{f(x) dx}\bruch{1}{(3-x)}^{2}dx [/mm] |
Hallo,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe, schaffe es aber einfach nicht auf die Lösung im Lösungsheft zu kommen. Es würde mich freuen, wenn mir jemand meinen Fehler aufzeigen könnte.
[mm] \integral_{2}^{-1}{f(x) dx}\bruch{1}{(3-x)}^{2}dx
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(3-x)}^{2} [/mm] = [mm] (3-x)^{-2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(-2)+1}*(3-x)^{(-2)+1}
[/mm]
[mm] -1*(3-x)^{-1}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{(3-x)}
[/mm]
im Lösungsheft endet dieser Schritt (der leider nicht so ausführlich dargestellt ist ) allerdings positiv, also [mm] \bruch{1}{(3-x)}
[/mm]
Was mache ich falsch?
Bin für jede Hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Mi 30.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechne das Integral
> [mm]\integral_{2}^{-1}{f(x) dx}\bruch{1}{(3-x)}^{2}dx[/mm]
>
Du meinst also
[mm] \int\limits_{2}^{-1}\frac{1}{(3-x)^{2}}dx
[/mm]
Bist du dir mit den Integrationsgrenzen sicher, normalerweise ist die Untergrenze kleiner als die Obergrenze.
Aber das kannst du retten, es gilt:
[mm] \int\limits_{a}^{b}g(x)dx=-\int\limits_{b}^{a}g(x)dx
[/mm]
> Hallo,
> ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe, schaffe es aber
> einfach nicht auf die Lösung im Lösungsheft zu kommen. Es
> würde mich freuen, wenn mir jemand meinen Fehler aufzeigen
> könnte.
>
> [mm]\integral_{2}^{-1}{f(x) dx}\bruch{1}{(3-x)}^{2}dx[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(3-x)}^{2}[/mm] = [mm](3-x)^{-2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(-2)+1}*(3-x)^{(-2)+1}[/mm]
>
> [mm]-1*(3-x)^{-1}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{(3-x)}[/mm]
>
> im Lösungsheft endet dieser Schritt (der leider nicht so
> ausführlich dargestellt ist ) allerdings positiv, also
> [mm]\bruch{1}{(3-x)}[/mm]
>
> Was mache ich falsch?
Vermutlich hast du bei der linearen Substitution den Kehrwert des Wertes vor dem x, hier also der -1 vergessen.
[mm] \int\limits_{2}^{-1}\frac{1}{(3-x)^{2}}dx
[/mm]
[mm] =-\int\limits_{-1}^{2}(3-x)^{-2}dx
[/mm]
Mit der linearen Substituition u=3-x ergibt sich
[mm] $\frac{du}{dx}=-1\Leftrightarrow dx=\frac{du}{-1}=(-1)\cdot [/mm] du$
Damit wird aus
[mm] -\int\limits_{-1}^{2}(3-x)^{-2}dx
[/mm]
das Integral
[mm] $=-\int\limits_{-1}^{2}u^{-2}\cdot(-1)\cdot [/mm] du$
[mm] $=-(-1)\cdot\int\limits_{-1}^{2}u^{-2}du$
[/mm]
[mm] $=\left[-u^{-1}\right]_{-1}^{2}$
[/mm]
Rücksubstitution
[mm] $=\left[-(3-x)^{-1}\right]_{-1}^{2}$
[/mm]
Wenn du natürlich die Integrationsgrenzen nicht vertauschst, bekommst du das positive Vorzeichen.
[mm] \int\limits_{2}^{-1}\frac{1}{(3-x)^{2}}dx
[/mm]
[mm] =\int\limits_{2}^{-1}(3-x)^{-2}dx
[/mm]
[mm] $=\int\limits_{2}^{-1}u^{-2}\cdot(-1)\cdot [/mm] du$
[mm] $=(-1)\cdot\int\limits_{2}^{-1}u^{-2}du$
[/mm]
[mm] $=(-1)\cdot\left[-u^{-1}\right]_{2}^{-1}$
[/mm]
[mm] $=(-1)\left[-(3-x)^{-1}\right]_{2}^{-1}$
[/mm]
[mm] $=(-1)\cdot(-1)\left[(3-x)^{-1}\right]_{2}^{-1}$
[/mm]
[mm] =\left[\frac{1}{3-x}\right]_{2}^{-1}
[/mm]
Marius
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Danke ersteinmal für deine Hilfe.
Du hast recht, die Integrationsgrenzen habe ich versehentlich vertauscht.
Die vartiante mit der Substitution kann als Lösungsweg nicht gemeint sein, die hatten wir noch garnicht. Gibt es eine andere Möglichkeit ?
Grüße und danke im voraus
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Hallo!
Der Grund ist, daß vor dem x noch ein Minus steht.
Denk dran, daß das Ableiten die Umkehrung vom Integrieren ist, und da gibt es die Kettenregel: "Innere Ableitung mal äußere".
Das bedeutet z.B.: [mm] ((3-x)^2)'=\red{-1}*(3-x)
[/mm]
Genauso: [mm] $\left(\frac{1}{(3-x)}\right)'=\red{-1}*-\frac{1}{(3-x)^2}=\red{+}\frac{1}{(3-x)^2}$
[/mm]
Ohne Substitution ist ein Trick beim Integtrieren, diese Kettenregel zu erkennen:
[mm] $\int x*\cos(2x^2)$ [/mm] (Das mit dem cos ist Absicht, um den Blick aufs Wesentliche zu lenken. Die Stammfunktion davon ist [mm] \int\cos(x)=\sin(x) [/mm] )
Das innere ist [mm] 2x^2, [/mm] die Ableitung des inneren ist also 2*2x=4x . Die Stammfunktion muß also den Faktor [mm] \frac{1}{4} [/mm] enthalten, damit sich die 4 'raus kürzt:
[mm] $\int x*\cos(2x^2)=\frac{1}{4}\sin(2x^2)$
[/mm]
Nochmal zur Kontrolle ableiten:
[mm] (\frac{1}{4}\sin(2x^2))'=(2*2*x)*\frac{1}{4}\cos(2x^2)=x*\cos(2x^2)
[/mm]
Genauso siehst du bei deiner Aufgabe, daß die Ableitung von 3-x eben -1 ist. Demnach muß die Stammfunktion einen zusätzlichen Faktor -1 haben, damit sich das 'raushebt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Windbeutel |
Danke für eure Hilfe
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