Rechnen mit Kreisen in 3D < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Mi 27.02.2008 | | Autor: | ganimo |
| Aufgabe | Problem:
Ich habe 2 Kreise, welche sich im 3D Raum befinden. Die Lage ist beliebig.
Beide Kreise sind eindeutig definiert durch:
[mm] \overrightarrow{x_{1}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{M_{1}} [/mm] + [mm] \overrightarrow{u_{1}} [/mm] * [mm] sin(\alpha) [/mm] + [mm] \overrightarrow{v_{1}} [/mm] * [mm] cos(\alpha) [/mm]
[mm] \overrightarrow{x_{2}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{M_{2}} [/mm] + [mm] \overrightarrow{u_{2}} [/mm] * [mm] sin(\beta) [/mm] + [mm] \overrightarrow{v_{2}} [/mm] * [mm] cos(\beta) [/mm]
definiert
[mm] M_{1,2} [/mm] sind die Mittelpunkte der Kreise
[mm] u_{1,2} [/mm] und [mm] v_{1,2} [/mm] sind 2 orthogonal aufeinanderstehende Vektoren, deren Betrag gleich dem Radius des Kreises ist.
[mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind Laufvariablen, die jeden Punkt auf der Kreisbahn beschreiben.
Gesucht ist das [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta, [/mm] bei dem die Punkte auf der Kreisbahn den kleinsten Abstand haben.
Die Kreise schneiden sich nicht, sondern liegen nur windschief zueinander.
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Zu erst: Falls das Thema im falschen Unterforum liegt -> bitte schieben.
Zur Lösung:
Diese Aufgabe hat einen reelen Hintergrund. Zur Zeit löse ich das Problem über eine Schleife, da es erst mal schnell gehen musste. Diese Lösung ist aber nicht nur schrecklich, sondern auch nicht besonders wissenschaftlich und brauch zu dem zu viel Rechenleistung.
Mir geistern ein paar Ideen im Kopf herum, wie man das lösen könnte, jedoch ist der Rechenaufwand sofort gewaltig.
Da ich dieses Problem schon eine Weile mir mir herumtage vermute ich, daß ich einfach viel zu kompliziert an die Sache gehe.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie man das einfach lösen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Sind die Ebenen der Kreise identisch, parallel, orthogonal oder völlig beliebig ?
Sind auch Lösungen innerhalb des Kreises erlaubt ? (scheinbar nicht)
Ciao.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 Do 28.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Ganimo,
ich würde zunächst allgemein (also mit [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] eine Funktion für die Länge des Differenzvektors aufstellen, halt in Abhängigkeit von [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$. [/mm] Von dieser Funktion suchst du dann die globalen Minima mit Hilfe der Differentialrechnung. Das müsste gehen und sollte exakt, präzise und schnell gehen, mit einem Computer-Algebra-System (CAS).
Vielleicht noch als kleine Hilfe hier der Ansatz, den ich meine:
Bilde den Differenzvektor von einem Punkt [mm] $\overrightarrow{x_1}$ [/mm] auf dem einen Kreis und einem Punkt [mm] $\overrightarrow{x_2}$ [/mm] auf dem anderen Kreis:
[mm]\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_1}=\overrightarrow{M_2}+(\sin\beta)\overrightarrow{u_2} +(\cos\beta)\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{M_1}-(\sin\alpha)\overrightarrow{u_1}-(\cos\alpha)\overrightarrow{v_1}[/mm]
[mm]=\overrightarrow{M_2}-\overrightarrow{M_1}+(\sin\beta)\overrightarrow{u_2}-(\sin\alpha)\overrightarrow{u_1} + (\cos\beta)\overrightarrow{v_2}-(\cos\alpha)\overrightarrow{v_1}[/mm]
Nun berechnen wir die Länge dieses Vektors. Dafür sei [mm] $\overrightarrow{u_1}=\vektor{{u_1}_x\\{u_1}_y\\{u_1}_z}$ [/mm] und die anderen Vektoren analog.
Dann ergibt sich:
[mm]
||\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_1}|| =\sqrt{ [{M_2}_x-{M_1}_x+(\sin\beta){u_2}_x-(\sin\alpha){u_1}_x+(\cos\beta){v_2}_x-(\cos\alpha){v_1}_x]^2 +[{M_2}_y-{M_1}_y+(\sin\beta){u_2}_y-(\sin\alpha){u_1}_y+(\cos\beta){v_2}_y-(\cos\alpha){v_1}_y]^2 +[{M_2}_z-{M_1}_z+(\sin\beta){u_2}_z-(\sin\alpha){u_1}_z+(\cos\beta){v_2}_z-(\cos\alpha){v_1}_z]^2}
[/mm]
Ein ziemlich ekliger Term, das geb ich zu. Ich dachte, beim ausmultiplizieren könne man einiges wegkürzen, was sich gegenseitig aufhebt. Aber das scheint doch nicht der Fall zu sein. Macht aber nichts, ein CAS sollte trotzdem damit klar kommen. Musst du mal probieren ...
Mathematische Grüße,
Manatu
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Vielleicht denke ich jetzt zu einfach, oder du denkst zu kompliziert. Ich würde es jedenfalls so machen:
Nimm zwei Blatter Papier und zeichne auf jedes Blatt einen Kreis. Und dann halte diese beiden Blätter an der Schnittkante (in einem beliebigen Winkel) aneinander.
Wo ist nun der kürzeste Abstand zwischen den beiden Kreisen?
Der wäre meines Erachtens doch durch die direkte Verbindung (auf dem Papier !!) zwischen den beiden Kreismittelpunkten gegeben.
Kannst du die Richtungsvektoren dieser Verindung bestimmen?
Diese Richtungsvektoren durchschneiden ja auch die beiden Kreise. Und diese Schnittpunkte müssten dann doch die kürzestmögliche Verbindung (auch in der Luft) zwischen zwei Kreispunkten der beiden Kreise sein.
Und wenn du dann die Punkte hast, dann sollte das mit dem Winkel auch kein Problem mehr darstellen.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 07:55 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Rabilein,
die Idee ist gut, aber ich fürchte, du hast einen kleinen Fehler drin. Ich will versuchen, das zu verdeutlichen, vielleicht kann man deine Idee sogar retten.
Die Verbindungsstrecke zwischen den beiden Mittelpunkten muss die Kreise nicht schneiden, weil sie i.A. einen anderen Winkel hat. Die Verbindungsstrecke geht halt quer durch den Raum, aber verläuft nicht auf den Papierblättern.
Retten kann man deine Idee vielleicht, indem man genau diese Verbindungsstrecke berechnet und sie dann jeweils orthogonal auf die Ebenen projiziert, in denen die Kreise liegen (also quasi den Schatten betrachten, den die Verbindungslinie der Mittelpunkte auf den Papierblättern hinterlässt). Diese Projektion schneidet dann tatsächlich die Kreise (also der Teil auf der einen Ebene schneidet den entsprechenden Kreis da, die Projektion aus der anderen Richtung, senkrecht auf die andere Ebene schneidet den anderen Kreis).
Dann kann man so weiter machen, wie du vorgeschlagen hast. Stimmt, vielleicht ist das einfacher.
Mathematische Grüße,
Manatu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Die Idee mit den Projektionen hatte ich zu Beginn auch gleich. Leider scheint sie nicht immer eindeutig zur Lösung zu führen.
Wenn man mit [mm] K_1' [/mm] und [mm] K_2' [/mm] mal die orthogonalen Parallelprojektionen der Kreise auf die Ebenen des jeweils anderen Kreises bezeichnet, dann kann man für den Fall, dass [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2', [/mm] so wie [mm] K_2 [/mm] und [mm] K_1' [/mm] sich nicht schneiden die entscheidenen Punkte finden. Sie liegen auf den beiden Strecken [mm] \overline{M_1 M_2'} [/mm] und [mm] \overline{M_2 M_1'}.
[/mm]
Das läßt sich meiner Meinung nach sogar recht einfach mit Pythagoras zeigen.
Nur wenn es Schnittpunkte mit den Projektionen gibt, dann gibt es zwei Lösungen, die sich irgendwie nicht auf einfachste Weise berechnen lassen wollen.
Ciao.
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