Rechnen mit Quadratwurzeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Do 08.03.2012 | | Autor: | sterzal |
| Aufgabe | [mm] \wurzel{a} [/mm] ist diejenige nicht negative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Steht unter der Wurzel bereits ein Quadrat, so gilt:
[mm] \wurzel{a²} [/mm] = |a| |
Könnte mir einer vielleicht erklären warum die Zahl [mm] \wurzel{a} [/mm] keine negative Zahl sein darf? wenn man doch die Zahl quadriert kommt immer eine positive Zahl raus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Do 08.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\wurzel{a}[/mm] ist diejenige nicht negative Zahl, deren Quadrat
> a ergibt. Steht unter der Wurzel bereits ein Quadrat, so
> gilt:
>
> [mm]\wurzel{a²}[/mm] = |a|
> Könnte mir einer vielleicht erklären warum die Zahl
> [mm]\wurzel{a}[/mm] keine negative Zahl sein darf?
Wir beschränken uns auf den Zahlbereich [mm] \IR. [/mm] Ist a [mm] \in \IR [/mm] und a [mm] \ge [/mm] 0, so kann man zeigen, dass es genau ein x [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:
(*) [mm] x^2=a.
[/mm]
Dieses x heißt die Wurzel aus a und wird mit [mm] \wurzel{a} [/mm] bezeichnet. Das ist eine Definition !. Nach dieser Def. ist also stehts [mm] \wurzel{a} \ge [/mm] 0.
Beachte, dass die Gleichung (*) ( im Falle a>0) 2 Lösungen hat: [mm] \wurzel{a} [/mm] und [mm] $-\wurzel{a}$.
[/mm]
Unterscheide also zwischen "Wurzelziehen" und dem Lösen einer Gleichung.
FRED
> wenn man die Zahl
> quadriert kommt immer eine positive Zahl raus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Do 08.03.2012 | | Autor: | sterzal |
also besser gesagt "es ist halt so" und man soll es sich so wie es ist einprägen. oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Do 08.03.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo sterzal!
"isso" ist eine nicht sehr befriedigende Antwort, das kann ich gut verstehen.
Aber das ist auch Wesen einer Definition (= Festlegung / "Abgrenzung").
Diese wurde hier so getroffen, um den Wurzelausdruck auch eindeutig zu machen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 11.03.2012 | | Autor: | sterzal |
Was mich eigentlich verwirrt, ist das dass ich manchmal die Aufgabe gestellt bekomme wie z.B:
[mm] \wurzel{(-3)²} [/mm]
- wieso ist hier plötzlich eine negative Zahl in der Aufgabe?
im Gegenteil bei der Difinition für den Term [mm] \wurzel{x²}
[/mm]
heißt es dass, [mm] \wurzel{x²} [/mm] = |x| und keine negative Zahl ist.
Achtung! oben unter dem Wurzelzeichen heißt es (-3)²
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Hallo sterzal,
> Was mich eigentlich verwirrt, ist das dass ich manchmal die
> Aufgabe gestellt bekomme wie z.B:
>
> [mm]\wurzel{(-3)²}[/mm]
>
> - wieso ist hier plötzlich eine negative Zahl in der
> Aufgabe?
das man dir schwerlich beantworten. Es gibt zwei Möglichkeiten:
- Entweder, es geht um komplexe Zahlen, dann gilt
[mm] \wurzel{-3}=\pm{i}\wurzel{3}
[/mm]
- Oder, du rechnest im Reellen: dann sollst du sagen, dass es im Reellen keine solche Wurzel gibt bzw. dass sie nicht definiert ist, oder aber es ist irgendjemandem schlicht un dergreifend ein Fehler unterlaufen.
EDIT:
- Möglichkeit 3 ist, dass der Antwortschreiber nicht alles gelesen hat. mit dem Zusatz, dass unter der Wurzel noch ein Quadrat hingehört, ist es einfach:
[mm] \wurzel{(-3)^2}=\wurzel{3^2}=3
[/mm]
Gruß, Diophant
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> - Entweder, es geht um komplexe Zahlen, dann gilt
>
> [mm]\wurzel{-3}=\pm{i}\wurzel{3}[/mm]
Hallo Diophant,
die Schreibweise mit dem [mm] \pm [/mm] - Symbol ist im Komplexen
genau so problematisch wie im Reellen. Einem Term gleich-
zeitig zwei verschiedene Zahlenwerte zuzuordnen steht
grundsätzlich in Konflikt mit der Transitivität der Gleichheit.
LG Al
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> Was mich eigentlich verwirrt, ist das dass ich manchmal die
> Aufgabe gestellt bekomme wie z.B:
>
> [mm]\wurzel{(-3)²}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Vorsicht: dieser Term erscheint nicht so, wie du ihn
gemeint hast !
> - wieso ist hier plötzlich eine negative Zahl in der
> Aufgabe?
>
>
> im Gegenteil bei der Difinition für den Term [mm]\wurzel{x²}[/mm]
> heißt es dass, [mm]\wurzel{x²}[/mm] = |x| und keine negative Zahl
> ist.
>
> Achtung! oben unter dem Wurzelzeichen heißt es (-3)²
Wenn du da einen Exponenten schreiben willst, so benütze
dazu nicht den Exponenten von deiner Tastatur, sondern
schreibe Potenzen immer mit dem ^ - Symbol !
Es soll also um [mm]\wurzel{(-3)^2}[/mm] gehen.
Dann ist natürlich [mm] (-3)^2=9 [/mm] und [mm] $\wurzel{(-3)^2}\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{9}\ [/mm] =\ 3$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 11.03.2012 | | Autor: | sterzal |
Aber jetzt zu meiner Frage zurück?
Ich soll z.B den x für den Term [mm] \wurzel{x}^2 [/mm] definieren
Das Ergebnis lautet: [mm] \wurzel{x}^2 [/mm] = |x| es heißt dass wir für x nur eine positive Zahl einsetzen dürfen oder die "0". Das ist klar.
Nächste Aufgabe lautet so:
[mm] \wurzel{(-3)}^2
[/mm]
= 3
Das ist klar.
Meine Frage lautet jetzt warum setzt der Autor -3 unter die Wurzel ein, wenn man nur |x| also nur positive Zahlen einsetzen darf. Das (-3) * (-3) = 9 ergibt ist mir auch klar.
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Hallo,
was jetzt:
[mm] \wurzel{-3}^2
[/mm]
oder
[mm] \wurzel{(-3)^2}
[/mm]
?
Das ist ein großer Unterschied, weil der erste Term wie schon gesagt im Reellen überhaupt nicht definiert ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 11.03.2012 | | Autor: | sterzal |
Sorry hab's wieder korrigiert
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Hallo,
> Sorry hab's wieder korrigiert
ich würde sagen, du hast es verschlimmbessert. 
Die Quadratwurzel ist im Reellen definiert für alle x mit [mm] x\ge{0}. [/mm] Das bedeutet sofort, dass
[mm] \wurzel{(-3)}^2
[/mm]
nicht definiert ist, da zuerst radiziert und dann quadriert werden soll.
Hingegen ist
[mm] \wurzel{(-3)^2}
[/mm]
wohldefiniert: der Unterschied liegt darin, dass bei mir das Quadrat unter der Wurzel steht. Es ist also somit
[mm] \wurzel{(-3)^2}=\wurzel{9}=\wurzel{3^2}=3=|-3|
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 11.03.2012 | | Autor: | sterzal |
Oh man bitte überall so betrachten dass das Exponent 2 unter der Wurzel steht
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Hallo,
> Oh man bitte überall so betrachten dass das Exponent 2
> unter der Wurzel steht
aber was ist dir denn für diesen Fall unklar?
Es wäre zielführend, wenn du dein Problem noch etwas genauer beschreiben könntest. Denn bereits in der ersten Antwort im Thread (von fred97) steht bereist alles notwendige da, und ich habe gerade ehrlich gesagt Schwierigkeiten damit, dein Anliegen nachzuvollziehen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 11.03.2012 | | Autor: | sterzal |
Das Problem ist, dass für mich sich die beide Aufgaben widersprechen in der ersten heißt es dass man für x nur positive Zahlen einsetzen kann deswegen die einzusetzende Zahl nur als Betrag unter die Wurzel darf. Dagegen setzt der Autor in der zweiten Aufgabe (-3) ein. Klar dass da eine 3 rauskommt. Aber dann könnte man bei der ersten Aufgabe genauso sagen dass man für x nicht nur positive Zahlen einsetzten darf, also nicht |x| sondern einfach x weil als x auch -3 vorkommen kann und als Ergebnis wieder eine positive Zahl rauskommt. Hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.
LG Aleks
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> Das Problem ist, dass für mich sich die beide Aufgaben
> widersprechen in der ersten heißt es dass man für x nur
> positive Zahlen einsetzen kann deswegen die einzusetzende
> Zahl nur als Betrag unter die Wurzel darf. Dagegen setzt
> der Autor in der zweiten Aufgabe (-3) ein. Klar dass da
> eine 3 rauskommt. Aber dann könnte man bei der ersten
> Aufgabe genauso sagen dass man für x nicht nur positive
> Zahlen einsetzten darf, also nicht |x| sondern einfach x
> weil als x auch -3 vorkommen kann und als Ergebnis wieder
> eine positive Zahl rauskommt. Hoffe ich habe mich
> verständlich ausgedrückt.
>
> LG Aleks
Hallo Aleks,
mittlerweile denke ich, dass das einzige Problem noch
darin besteht, dass du dich an das exakte Lesen und
Schreiben von mathematischen Termen gewöhnen
solltest.
LG Al-Chw.
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> Oh man bitte überall so betrachten dass das Exponent 2
> unter der Wurzel steht
Oh Mensch, wenn der Exponent unter der Wurzel stehen
soll, dann schreib den Term doch bitte auch so, wie du
ihn meinst. Das ist kein Hexenwerk.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 11.03.2012 | | Autor: | sterzal |
sorry, PC war besetzt war bisschen schwer mit dem Handy richtig zu tippen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 11.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Es steht in dem Beispiel nichts negatives unter der Wurzel.
Die Regel: Zuerst alles, was unter dem Wurzelzeichen steht ausrechnen. Dann erst ist die Wurzel dran.
Beispiel: [mm] $\wurzel{-(-1)}$
[/mm]
Zuerst: -(-1) = 1 berechnen. schon sind alle Minuszeichen weg. Dann [mm] $\wurzel{1}$ [/mm] berchnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 11.03.2012 | | Autor: | sterzal |
Vielen Dank. Ich glaube irgendwo hier liegt das Verständnisproblem.
Ich werde mich mit dem Thema mehr auseinander setzen.!
Ich bin mal im Internet auf eine Erklärung gestoßen warum man |x| nimmt und kein x leider verstehe ich die zweite Zeile nicht was der Autor hiermit meint und wie er drauf kommt.
Beispiel:
Hätte man sich bei der Definition der Wurzel dagegen auf die negativen Zahlen, deren Quadrat den Radikanden ergibt, festgelegt, so würde hier gelten:
[mm] \wurzel{9} [/mm] * [mm] \wurzel{4} [/mm] = (-3) * (-2) = 6
[mm] \wurzel{9 * 4} [/mm] = [mm] \wurzel{36} [/mm] = -6
[mm] \wurzel{9} [/mm] * [mm] \wurzel{4} \not= \wurzel{9 * 4} [/mm]
quelle: http://www.dieter-heidorn.de
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Der Autor versucht hier plausibel zu machen, warum es Sinn hat, |x| als Wurzel aus y zu definieren, wenn [mm] x^2=y. [/mm]
Die einzige andere Möglichkeit, die Wurzel zu definieren, besteht darin -|x| als die Wurzel aus y anzusehen, wenn [mm] x^2=y. [/mm]
Dies führt aber zu einem Problem, das er im folgenden Beispiel illustriert:
Wir kennen alle die schöne Eigenschaft von Wurzeln, dass [mm] \wurzel{ab}=\wurzel{a}*\wurzel{b}.
[/mm]
Die geht verloren, wenn wir [mm] \wurzel{y}<0 [/mm] wählen!
Dann ist nämlich [mm] \wurzel{ab}<0, [/mm] aber [mm] \wurzel{a}*\wurzel{b}>0, [/mm] weil Minus mal Minus plus ergibt!
Um noch mal direkt auf die von dir genannte zweite Zeile einzugehen:
[mm] 6^2=36 [/mm] und [mm] (-6)^2=36. [/mm]
Wenn wir nun als definiert hätten, dass Wurzeln negative Zahlen sind, dann wäre die Wurzel aus 36 -6
Das stimmt aber nicht überein mit +6 und damit gilt unsere Regel, dass man Wurzeln so schön einfach multiplizieren kann nicht!
Deshalb ist es viel geschickter festzulegen, dass die Wurzel aus einer Zahl positiv ist.
Ich hoffe, das hilft!
Viele Grüße
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