Rechnen mit Ungleichungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich hoffe, dass ich mit meiner Frage so halbwegs richtig in diesem Unterforum bin. Kann mir jemand das Lösen quadratischer Ungleichungen (mit Beträgen) einmal erklären (so, als wäre ich 6 Jahre alt  ).
Ich komme auf die Fallunterscheidung irgendwie nicht klar. Als Beispiel mal folgende Aufgabe:
[mm]3|x^2 - 2x +2| \ge 8[/mm]
Danke schon einmal.
Viele Grüße
Philipp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. (Ay, hört das denn nie auf!? ^^ )
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 23.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
>
> ich hoffe, dass ich mit meiner Frage so halbwegs richtig in
> diesem Unterforum bin. Kann mir jemand das Lösen
> quadratischer Ungleichungen (mit Beträgen) einmal erklären
> (so, als wäre ich 6 Jahre alt ).
> Ich komme auf die Fallunterscheidung irgendwie nicht klar.
> Als Beispiel mal folgende Aufgabe:
>
> [mm]3|x^2 - 2x +2| \ge 8[/mm]
>
> Danke schon einmal.
>
> Viele Grüße
> Philipp
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. (Ay, hört das denn nie auf!? ^^ )
Hallo Philipp,
Gut ich versuche es mal ganz ausführlich.
Zuerst einmal gehe ich davon aus, dass dein Problem die Betragsfunktion ist.
Diese ist wie folgt definiert:
|x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für }x < 0. \end{cases}
[/mm]
Zuerst einmal stelle die Ungleichung wie folgt um:
[mm] 3|x^2 [/mm] - 2x +2| [mm] \ge [/mm] 8 [mm] \gdw [/mm] |3x²- 6x -18| [mm] \ge [/mm] 0
Also musst du dir die Parabel innerhalb der Betragsstriche mal genauer anschauen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt kannst du hiervon die Nullstellen bestimmen (p-q-Formel, Quadr. Ergänzung, Satz von Vietá oder wie auch immer)
Jetzt musst du nur noch überprüfen, ob die Parabel zwischen den Nullstellen grösser oder kleiner als Null ist. Damit hast du dann dein Ergebnis.
Hilft das weiter?
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke erst einmal für Deine Antwort. Es gibt doch sicherlich eine Möglichkeit, die Ungleichung ohne Aufzeichnen einer Parabel zu lösen, AFAIK Fallunterscheidung (was mein Problem ist).
Nehmen wir wir ein anderes Beispiel: [mm]\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} < \frac{2}{x+1} (bzw. \frac{x + 1}{x(x+2)} < \frac{1}{x+1})[/mm]
Ich muss zwischen [mm]x+1 > 0[/mm] und [mm]x+1 < 0[/mm] unterscheiden, aber warum? Und wie komme ich dann auf den Lösungsintervall?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> danke erst einmal für Deine Antwort. Es gibt doch
> sicherlich eine Möglichkeit, die Ungleichung ohne
> Aufzeichnen einer Parabel zu lösen, AFAIK
Du brauchst die Parabel nicht wirklich für die Lösung, sie ist nur eine Hilfe, um dir das Ganze vorzustellen. Es reicht, wenn du die Nullstellen der genannten Funktion berechnest und dann guckst, in welchen Intervallen sie eben positiv bzw. negativ ist.
> Fallunterscheidung (was mein Problem ist).
> Nehmen wir wir ein anderes Beispiel: [mm]\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} < \frac{2}{x+1} (bzw. \frac{x + 1}{x(x+2)} < \frac{1}{x+1})[/mm]
>
> Ich muss zwischen [mm]x+1 > 0[/mm] und [mm]x+1 < 0[/mm] unterscheiden, aber
> warum? Und wie komme ich dann auf den Lösungsintervall?
Ich sehe gerade irgendwie nicht: soll das beide Male die gleiche Aufgabe sein oder sind das zwei verschiedene? Warum du diese Fallunterscheidung machen musst, ist eigentlich ganz einfach. Du musst ja irgendwie die Brüche wegbekommen, und dafür musst du die ganze Ungleichung mit dem Nenner multiplizieren. Und wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl mutliplizierst, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. In diesem Fall wird dann hier aus "<" ein ">". Und dafür musst du natürlich wissen, ob du mit einer positiven oder einer negativen Zahl multiplizierst.
Dann multiplizierst du einfach weiter, bis du alle Nenner weg hast und eine Ungleichung ohne Brüche, die dürftest du doch dann eigentlich lösen können, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
|
