Rechnen mit Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Zufallsvariablen [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] mit Werten -1, +1 seinen unabhängig und es gelte
[mm] P(X_i=1)=p, P(X_i=-1)=1-p [/mm] für i=1,2
a) Bestimme den Erwartungswert und die Varianz für [mm] X_1.
[/mm]
b) Bestimme [mm] P(X_1=X_2).
[/mm]
c) Sind die Ereignisse [mm] \{X_1=X_2 \} [/mm] und [mm] \{X_1=1 \} [/mm] für p=1/2 unabhängig? |
Hi, also meine Ideen zu dieser Aufgabe:
a)
[mm] E(X_1)=\summe_{i=1}^{2}x_i P(X_1=x_i)=1*p+(-1)*(1-p)=2p-1
[/mm]
Für die Varianz gilt: [mm] Var(X_1)=E(X_1^2)-(E(X_1))^2
[/mm]
[mm] E(X_1^2)=\summe_{i=1}^{2}x_i^2 P(X_1=x_i)=1*p+1*(1-p)=p+1-p=1
[/mm]
d.h. wir haben [mm] Var(X_1)=1-(2p-1)=2-2p
[/mm]
b)
[mm] P(X_1=X_2)=P(\{X_1=1=X_2\} \cup \{X_1=-1=X_2\})=p+1-p=1
[/mm]
c)
Man muss zeigen: [mm] P(\{X_1=X_2\} \cap \{X_1=1\})=P(\{X_1=X_2\} )*P(\{X_1=1\})=1*(1/2)
[/mm]
Kann jemand die Ergebnisse erstmal bis hierher bestätigen?? bei c) weiß ich jetzt gerade nicht, wie ich [mm] P(\{X_1=X_2\} \cap \{X_1=1\}) [/mm] bestimmte??
Danke für Hilfe.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Fr 22.01.2010 | | Autor: | gfm |
a) Die Varianz sollte symmetrisch bezüglich p=1/2 sein. Ist es aber nicht, da du vergessen hast, den Ausdruck für den Erwartungswert zu quadrieren.
b) [mm] \{X_{1}=X_{2}\}=(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})\cup (\{X_{1}=-1\} \cap\{X_{2}=-1\})
[/mm]
c) [mm] \{X_{1}=X_{2}\}\cap\{X_{1}=1\}=[(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})\cup (\{X_{1}=-1\}\cap\{X_{2}=-1\})]\cap\{X_{1}=1\}=\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hi,
oh ja,hatte ganz vergessen [mm] E(X_1) [/mm] noch zu quadrieren, danke für den Tipp.
zu b)
d.h. wir haben:
[mm] P(X_1=X_2)
[/mm]
= [mm] P((\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})\cup (\{X_{1}=-1\} \cap\{X_{2}=-1\})
[/mm]
= [mm] P(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\}) [/mm] + [mm] P(\{X_{1}=-1\} \cap\{X_{2}=-1\})
[/mm]
= p*p+(1-p)*(1-p)
bin mir gerae nicht sicher, ob ich den Schnitt nich noch abziehen muss, also
[mm] p*p+(1-p)*(1-P)-P((\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})\cap (\{X_{1}=-1\} \cap\{X_{2}=-1\}) [/mm] ??? wenn ja, wüsste ich gerade nicht, wie ich diesen Schnitt berechnen kann....
bei c)
> [mm] \{X_{1}=X_{2}\}\cap\{X_{1}=1\}
[/mm]
> [mm] =[(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})\cup (\{X_{1}=-1\}\cap\{X_{2}=-1\})]\cap\{X_{1}=1\}
[/mm]
> [mm] =\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\}
[/mm]
Wie kommst du hier von der zweiten Zeile zur dritten?? die kann ich gerade nicht so nachvollziehen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 22.01.2010 | | Autor: | kekaa |
zu b)
Nein, hier muss kein Schnitt abgezogen werden.
zu c)
Du schneidest das Ereignis
$ [mm] (\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})\cup (\{X_{1}=-1\}\cap\{X_{2}=-1\}) [/mm] $
mit dem Ereignis
$ [mm] \{X_1 = 1\} [/mm] $
Das heißt, dass alle Mengen, bei denen $ [mm] X_1 \neq [/mm] 1 $ ist, im Schnitt rausfallen und nur die übrig bleiben, bei denen $ [mm] X_1 [/mm] = 1 $ gilt.
|
|
|
| |
|
Hi,
also d.h. bei b)
[mm] P(X_1=X_2)=p*p+(1-p)*(1-p) [/mm] müsste richtig sein??
und dann zu c) nochmal, man soll ja die Unabhängigkeit überprüfen:
d.h. [mm] P(\{X_{1}=X_{2}\}\cap\{X_{1}=1\})=P([(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})\cup (\{X_{1}=-1\}\cap\{X_{2}=-1\})]\cap\{X_{1}=1\})=P(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})
[/mm]
d.h. z.z.: [mm] P(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})=P(\{X_{1}=1\})*P(\{X_{2}=1\})
[/mm]
[mm] P(\{X_{1}=1\})*P(\{X_{2}=1\}) [/mm] ist einfach, ist ja einfach [mm] P(\{X_{1}=1\})*P(\{X_{2}=1\})=p*p=p^2
[/mm]
ist jetzt [mm] P(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})=p?? [/mm] so dass die dann nicht unabhängig wären??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Fr 22.01.2010 | | Autor: | gfm |
[mm] P(\{X_{1}=X_{2}\}\cap\{X_{1}=1\})=P(\{X_{1}=1\}\cap\{X_{2}=1\})= P(\{X_{1}=1\})P(\{X_{2}=1\})=p^{2}
[/mm]
[mm] P(\{X_{1}=X_{2}\})P(\{X_{1}=1\})=(p^{2}+(1-p)^{2})p
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 22.01.2010 | | Autor: | jaruleking |
ok, danke euch.
gruß
|
|
|
|
