www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Rechnen mit konverg. Folgen
Rechnen mit konverg. Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rechnen mit konverg. Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Di 14.09.2010
Autor: G-Hoernle

Aufgabe
Seinen [mm] {a_n} [/mm] und [mm] {b_n} [/mm] konvergente Folgen mit [mm] a_n [/mm] --> a und [mm] b_n [/mm] --> b. Ist für ein [mm] n_0 \in \IN a_n [/mm] <= [mm] b_n [/mm] für alle n >= [mm] n_0, [/mm] ist dann auch a <= b?

Meiner Meinung nach ist das logisch, aber ohne Beweis scheint in der Mathematik nicht viel zu gehen :-/. Den Beweis habe ich im Script, verstehe allerdings ein par Dinge noch nicht, vllt. kann mir wer weiterhelfen ...

Beweis: Wir nehmen an, es gelte a > b. Zu [mm] \varepsilon [/mm] = (a-b)/2 gibt es ein [mm] N(\varepsilon) \in \IN, [/mm] sodass gilt: [mm] \forall [/mm] n >= [mm] N(\varepsilon) [/mm] : | a - [mm] a_n [/mm] | <  [mm] \varepsilon [/mm] und | b - [mm] b_n [/mm] | < [mm] \varepsilon. [/mm]

Hier fängts schon an. Warum wird [mm] \varepsilon [/mm] als die Hälfte der Abweichung der beiden Grenzwerte zueinander gewählt und warum gilt [mm] \forall [/mm] n >= [mm] N(\varepsilon) [/mm] : | a - [mm] a_n [/mm] | <  [mm] \varepsilon [/mm] und | b - [mm] b_n [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] ?



Insbesondere gilt

[mm] \forall [/mm] n >= [mm] N(\varepsilon): a_n [/mm] > a - [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] b_n [/mm] < b + [mm] \varepsilon. [/mm]

Auch das verstehe ich nicht, ich kann mir aber denken, dass ich um das verstehen zu können, erst einmal das obrige verstanden haben muss.



Nach Definition von [mm] \varepsilon [/mm] ist aber a - [mm] \varepsilon [/mm] = b + [mm] \varepsilon [/mm] und daher haben wir:

[mm] \forall [/mm] n >= [mm] N(\varepsilon): a_n [/mm] > a - [mm] \varepsilon [/mm] = b + [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] b_n, [/mm] was im Widerspruch zu Bedingung der Aufgabe steht. Also ist die Annahme a > b falsch.

Diesen Teil habe ich verstanden, der bringt mir ohne das obrige allerdings wenig :)

gruß
ghoernle

        
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Di 14.09.2010
Autor: schachuzipus

Hallo GHoernle,

> Seinen [mm]{a_n}[/mm] und [mm]{b_n}[/mm] konvergente Folgen mit [mm]a_n[/mm] --> a und
> [mm]b_n[/mm] --> b. Ist für ein [mm]n_0 \in \IN a_n[/mm] <= [mm]b_n[/mm] für alle n
> >= [mm]n_0,[/mm] ist dann auch a <= b?
> Meiner Meinung nach ist das logisch, aber ohne Beweis
> scheint in der Mathematik nicht viel zu gehen :-/. Den
> Beweis habe ich im Script, verstehe allerdings ein par
> Dinge noch nicht, vllt. kann mir wer weiterhelfen ...
>
> Beweis: Wir nehmen an, es gelte a > b. Zu [mm]\varepsilon[/mm] = (a-b)/2 gibt es ein [mm]N(\varepsilon) \in \IN,[/mm] sodass gilt:
> [mm]\forall[/mm] n >= [mm]N(\varepsilon)[/mm] : | a - [mm]a_n[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm]
> und | b - [mm]b_n[/mm] | < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Hier fängts schon an. Warum wird [mm]\varepsilon[/mm] als die
> Hälfte der Abweichung der beiden Grenzwerte zueinander
> gewählt

Na, es muss wegen der Konvergenz von [mm]a_n[/mm] (gegen a) ja für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein entsprechendes [mm]N_1(\varepsilon)[/mm] geben mit [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N_1(\varepsilon)[/mm]

einfach nach Definition "Folgenkonvergenz"

Ebenso muss es wegen der Konvergenz von [mm]b_n[/mm] (gegen b) für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein entsprechnedes [mm]N_2(\varepsilon)[/mm] geben mit ... wie oben, nur angepasst an [mm]b_n[/mm]

Hier im Beweis will man ja einen Widerspruch erzeugen, es wird im weiteren gezeigt, dass es eben nicht zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N(\varepsilon)[/mm] gibt mit "blabla"

Hier nimmt man (weil's schön passt [mm]\varepsilon=\frac{a-b}{2}[/mm])

Das ist wegen der Annahme [mm]a>b[/mm] echt [mm]>0[/mm])

Nimmt man sich nun [mm]N(\varepsilon):=\max\{N_1(\varepsilon),N_2(\varepsilon)\}[/mm] her, so gilt für alle [mm]n\ge N(\varepsilon):[/mm]

[mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] und [mm]|b_n-b|<\varepsilon[/mm]


> und warum gilt [mm]\forall[/mm] n >= [mm]N(\varepsilon)[/mm] : | a - [mm]a_n[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] und | b - [mm]b_n[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] ?

siehe eine Zeile höher, wegen der Konvergenz der beiden Folgen [mm]a_n, b_n[/mm]

Bedenke [mm]|a-a_n|=|(-1)\cdot{}(a_n-a)|=|a_n-a|[/mm] und analog für [mm]b_n[/mm]


>
>
> Insbesondere gilt
>
> [mm]\forall[/mm] n >= [mm]N(\varepsilon): a_n[/mm] > a - [mm]\varepsilon[/mm] und [mm]b_n[/mm] < b + [mm]\varepsilon.[/mm]

Löse doch mal die Betragsungleichung oben auf, oder veranschauliche es dir am Zahlenstrahl:

[mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm] bedeutet, dass [mm]a_n[/mm] näher an [mm]a[/mm] liegt als [mm]\varepsilon[/mm]

Dh. die [mm]a_n[/mm] liegen im offenen (um a symmetrischen) Intervall [mm](a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm]

Das bedeutet aber nichts anderes als [mm]a-\varepsilon \ < \ a_n \ < \ a{\color{Aquamarine}+}\varepsilon[/mm]

Die linke Teilungleichung besagt genau [mm]a_n>a-\varepsilon[/mm]

Analog für [mm]|b_n-b|<\varepsilon[/mm] und dann die rechte Teilungleichung ...

> Auch das verstehe ich nicht, ich kann mir aber denken, dass
> ich um das verstehen zu können, erst einmal das obrige
> verstanden haben muss.
>
>
>
> Nach Definition von [mm]\varepsilon[/mm] ist aber a - [mm]\varepsilon[/mm] =
> b + [mm]\varepsilon[/mm] und daher haben wir:
>
> [mm]\forall[/mm] n >= [mm]N(\varepsilon): a_n[/mm] > a - [mm]\varepsilon[/mm] = b +
> [mm]\varepsilon[/mm] > [mm]b_n,[/mm] was im Widerspruch zu Bedingung der
> Aufgabe steht. Also ist die Annahme a > b falsch.
>
> Diesen Teil habe ich verstanden, der bringt mir ohne das
> obrige allerdings wenig :)

Hoffe, nun ist's ersichtlich!

>
> gruß
> ghoernle

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Di 14.09.2010
Autor: G-Hoernle

Hast hier noch nen Fehler:

$ [mm] a-\varepsilon [/mm] \ < \ [mm] a_n [/mm] \ < \ [mm] a-\varepsilon [/mm] $

Nehme an muss wie folgt heißen:

$ [mm] a-\varepsilon [/mm] \ < \ [mm] a_n [/mm] \ < \ [mm] a+\varepsilon [/mm] $

Jetzt macht es für mich Sinn. So wie es mein Prof. hingeschrieben hat sah es für mich aus, als würde das eine speziell für [mm] a_n [/mm] gelten, das andere für [mm] b_n. [/mm]

Dank dir :)

Bezug
                        
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 Di 14.09.2010
Autor: fred97


> Hast hier noch nen Fehler:
>  
> [mm]a-\varepsilon \ < \ a_n \ < \ a-\varepsilon[/mm]
>  
> Nehme an muss wie folgt heißen:
>  
> [mm]a-\varepsilon \ < \ a_n \ < \ a+\varepsilon[/mm]



Genau !

FRED

>  
> Jetzt macht es für mich Sinn. So wie es mein Prof.
> hingeschrieben hat sah es für mich aus, als würde das
> eine speziell für [mm]a_n[/mm] gelten, das andere für [mm]b_n.[/mm]
>  
> Dank dir :)


Bezug
                        
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Di 14.09.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,

ja, gut aufgepasst, ich bessere es mal schnell aus, bevor es noch mehr Leute merken ;-)

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:57 Di 14.09.2010
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ja, gut aufgepasst, ich bessere es mal schnell aus, bevor
> es noch mehr Leute merken ;-)

Hallo schachuzipus ,

............ich würde das "+" - Zeichen in Rot schreiben, dann merkts garantiert keiner ....


Gruß vom "irdischen"  FRED


>  
> Gruß
>  
> schachuzipus


Bezug
                                        
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Di 14.09.2010
Autor: schachuzipus

Hi Fred,

> > Hallo,
> >
> > ja, gut aufgepasst, ich bessere es mal schnell aus, bevor
> > es noch mehr Leute merken ;-)
>
> Hallo schachuzipus ,
>
> ............ich würde das "+" - Zeichen in Rot schreiben,
> dann merkts garantiert keiner ....

Gell? Dachte ich mir ;-)

Hab's dezenter gestaltet ;-)

>
>
> Gruß vom "irdischen" FRED
>


Zurück!


Bezug
                                                
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Di 14.09.2010
Autor: fred97


> Hi Fred,
>  
> > > Hallo,
>  > >

> > > ja, gut aufgepasst, ich bessere es mal schnell aus, bevor
> > > es noch mehr Leute merken ;-)
>  >

> > Hallo schachuzipus ,
>  >

> > ............ich würde das "+" - Zeichen in Rot schreiben,
> > dann merkts garantiert keiner ....
>  
> Gell? Dachte ich mir ;-)
>  
> Hab's dezenter gestaltet ;-)


Baby-Blau ist auch nicht übel !

FRED

>  
> >
> >
> > Gruß vom "irdischen" FRED
>  >

>
>
> Zurück!
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Di 14.09.2010
Autor: schachuzipus

Habe den Farbton bei google rausgesucht, nennt sich "Aquamarine"

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 Di 14.09.2010
Autor: G-Hoernle

Schön, dass auch das geklärt ist :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Di 14.09.2010
Autor: fred97


> Schön, dass auch das geklärt ist :)

Gell ! Manche Sachen müssen einfach gesagt werden

FRED


Bezug
                                                                                
Bezug
Rechnen mit konverg. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:19 Di 14.09.2010
Autor: schachuzipus

Ist doch schön, wenn Mathe nicht immer so ernst ist und man auch mal ein Spässchen machen kann.

Was sich so alles aus einem kleinen (Tipp-)Fehler entwickeln kann ...

;-)

So nun ist aber Schluss!

Gruß

schachuzipus

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de