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| Aufgabe | Welchen wert muss der Parameter k haben damit der Graph der Funktion fk an der Stelle 1(Stelle 0) einen Extrem (Wendepunkt) haben kann.
[mm] fk(x)=x^3+kx
[/mm]
[mm] fk(x)=x^4+kx^2 [/mm] |
$ [mm] fk(x)=x^3+kx [/mm] $
$ [mm] fk'(x)=3x^2+k [/mm] $
fk''(x)=6x
fk(x)'''=6
Extrema
$ [mm] 3x^2+k=0 [/mm] $ :3
$ [mm] x^2+k/3=0 [/mm] $ -k/3
$ [mm] x^2=-k/3 [/mm] $ jetzt wurzel zeihen!
Keine Extrema da -Wurzel
Kein Extrema falls k positiv!
2Extrema falls k- bzw kkleiner also 0
Falls k =3 kein Extrema möglich Falls k größer 3 kein Extrema möglich.
Aber wie fahre ich jetzt in meiner aufgabe fort?
Zum wendepunkt:f´(x)=6x
6x=0
X=0
Wendepunkt bei x=0 daraus folgere ich dass k null sein muss damit der Wendepunkt bei x=0 liegt aber woher weiss ich wie groß k sein müsste damit der Wendepunkt an der stelle 1 liegt?
Muss ich die Funktion einfach nur um 1 nach links verschieben also müsste k dann 1x sein???
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Hallo PeterSteiner,
> Welchen wert muss der Parameter k haben damit der Graph der
> Funktion fk an der Stelle 1(Stelle 0) einen Extrem
> (Wendepunkt) haben kann.
>
> [mm]fk(x)=x^3+kx[/mm]
> [mm]fk(x)=x^4+kx^2[/mm]
> [mm]fk(x)=x^3+kx[/mm]
> [mm]fk'(x)=3x^2+k[/mm]
> fk''(x)=6x
> fk(x)'''=6
>
> Extrema
>
> [mm]3x^2+k=0[/mm] :3
> [mm]x^2+k/3=0[/mm] -k/3
> [mm]x^2=-k/3[/mm] jetzt wurzel zeihen!
>
> Keine Extrema da -Wurzel
> Kein Extrema falls k positiv!
> 2Extrema falls k- bzw kkleiner also 0
> Falls k =3 kein Extrema möglich Falls k größer 3 kein
> Extrema möglich.
>
>
> Aber wie fahre ich jetzt in meiner aufgabe fort?
Setze jetzt x=1 in [mm]f_{k}'\left(x\right)=0[/mm] ein.
Dann erhältst Du einen Wert für k.
>
> Zum wendepunkt:f´(x)=6x
> 6x=0
> X=0
>
> Wendepunkt bei x=0 daraus folgere ich dass k null sein muss
> damit der Wendepunkt bei x=0 liegt aber woher weiss ich wie
> groß k sein müsste damit der Wendepunkt an der stelle 1
> liegt?
>
> Muss ich die Funktion einfach nur um 1 nach links
> verschieben also müsste k dann 1x sein???
>
Nein, die Funktion
[mm]f_{k}\left(x\right)=x^3+kx[/mm]
besitzt für alle [mm]k \in \IR[/mm] an der Stelle x=0 einen Wendepunkt.
Gruß
MathePower
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wie kommst du auf x=1?
Und wie bekomme ich herraus für Welchen k wert der extrempunt und wende punkt bei 1 oder 0 liegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich denke, es wäre sinnvoller, wenn du dir noch ein paar mehr Gedanken über die Antwort machen würdest....
In der Aufgabenstellung heißt es doch, für welchen Wert von k deine Funktion [mm] $f_k(x)=x^3+kx$ [/mm] ein Extremum an der Stelle $x=1$ hat.
Jetzt die Fragen:
1) Was muss erfüllt sein, damit an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ein Extremum vorliegen könnte? (Stichwort Ableitung)
2) Wenn du die Bedingung kennst, und willst, dass an der Stelle $x=1$ ein Extremum vorliegen könnte, was muss dann gelten? Dann weist du auch, warum man in eine bestimmte Funktion für $x$ die 1 einsetzt, und dann entsprechend nach k auflöst.
3) Was muss erfüllt sein, damit an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] eine Wendestelle vorliegen kann? (Stichwort nochmal Ableitung, allerdings nicht die selbe, wie oben)?
4) Rechne die Bedingung mal aus, und schau mal, ob die Bedingung noch mit einem k verbunden ist.
Damit du dir die Sache besser vorstellen kannst, stell dir einfach vor, dass das k irgendeine beliebige Zahl sei, beispielsweise 5. Beim Ableiten dann das k immer so behandeln, als wäre das k irgendeine Zahl, damit solltest du weiter kommen.
LG
Kroni
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tut mir leid ich kann damit nichts anfangen vielleicht sollten wir einmal schritt für sdchritt vorgehen. zu den extrempunkten.
Dabei bekomme ich ja nur ein extrema raus und zwar die 0 also x=0
Also habe ich den einen Hochpunkt schoneinmal gefunden, nun zum andren was muss ich mit der funktion machen damit ich einen hochpunkt erhalte der bei x =1 liegt.
also sieht dann meine funktion so aus: [mm] f(x)=x^4+1x^2
[/mm]
zum verständniss ich muss also für k einen wert einsetzen aus allen reellen zahlen.dieser wert den ich einsetzte für k muss dann den extrempunkt x=1 geben weil ich ja schon x=0 habe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay, gehen wir nochmal langsam Schritt für Schritt durch:
Deine Funktion lautet [mm] $f_k(x)=x^3+kx$ [/mm] (fangen wir erst mit der an, weil wenn du die kannst, kannst du die zweite auch).
Wenn man jetzt allgemein die Extrema ausrechnen mag, was muss man dann ausrechnen? Wie lautet die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit ein Extremum überhaupt vorliegen kann?
Beantworte am besten erstmal die Frage, dann kommt die nächste Frage, die dich zur Lösung bringen wird.
LG
Kroni
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ok ich setzte die erste ableitung null in dem fall
sieht die ableitung so aus:
[mm] Fk(x)=x^3+kx
[/mm]
[mm] fk`(x)=3x^2+k
[/mm]
so jetzt wende ich die pq formel an oder quadratische ergänzung
so sieht es dann aus [mm] x^2=-k/3
[/mm]
da stoße ich jetzt auf flgendes problem weil der term negativ ist also muss ich für k etwas negatives einsetzen damit ich überhaupt ein extrema herausbekomme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
genau. Das ist richtig.
Wenn k positiv ist, wäre [mm] $x^2$ [/mm] negativ, und man hat überhaupt kein Extremum.
Du hast aber schon weiter oben die Gleichung [mm] $f_k(x)=3x^2+k$ [/mm] stehen.
Jetzt ist doch danach gefragt, welchen Wert dein Parameter k haben muss, damit an der Stelle $x=1$ ein Extremum vorliegt, d.h. was muss für [mm] $f_k(x=1)$ [/mm] gelten?
Verstehst du es jetzt besser, warum man dann für das $x$ die 1 einsetzt, und dann nach $k$ auflöst?
LG
Kroni
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ich stehe mir da auf dem schaluch ich weiss nicht was und wie das gelten soll.
ich hätte ja dann [mm] x=\wurzel{-k/3} [/mm] und [mm] -\wurzel{-k/3}
[/mm]
das wären ja meine möglichen extrema.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
> ich stehe mir da auf dem schaluch ich weiss nicht was und
> wie das gelten soll.
>
> ich hätte ja dann [mm]x=\wurzel{-k/3}[/mm] und [mm]-\wurzel{-k/3}[/mm]
> das wären ja meine möglichen extrema.
Hi,
ja, so kann man das Problem angehen. Jetzt setzt man an, dass man ja ein Extremum haben will bei x=1, d.h. man setzt für das x eine 1 ein, und löst dann nach k auf, wo in beiden Fällen das selbe rauskommt.
Andersherum geht es eigentlich noch einfacher:
Forderung: Man mag bei $x=1$ ein Extremum haben, also muss gelten:
[mm] $f_k(x=1)=0$, [/mm] also [mm] $3\cdot(1)^2+k\overset{!}{=}0$, [/mm] wo man dann sofort nach k auflösen kann, um den entsprechenden Parameter rauszusuchen.
Ich hoffe, das bringt dich ein wenig weiter.
LG
Kroni
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kannst du mir mal zeigen wie das ergebnis daraus kommt. versthe nicht wie das gemien ist hätte mir ja die ganze rechnerei sparen können und direkt für k 1 oder 0 einsetzen können
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, eigentlich nicht.
Du hast die Funktion [mm] $F_k(x)=x^3+kx$ [/mm] vorgegeben. Die Ableitung lautet dann [mm] $F_k'(x)=f_k(x)=3x^2+k$.
[/mm]
Jetzt ist danach gefragt, welchen Zahlenwert das $k$ annehmen muss, damit [mm] $F_k(x)$ [/mm] an der Stelle $x=1$ ein Extremum hat.
Es muss also so sein, dass die Ableitung von [mm] $F_k(x)$, [/mm] also [mm] $f_k(x)=3x^2+k$ [/mm] an der Stelle $x=1$ eine Nullstelle hat. Da man ja schon die Stelle $x=1$ kennt, kann man ja mal ausrechnen, welchen Wert die Funktion [mm] $f_k(x)$ [/mm] an dieser Stelle $x=1$ hat, dazu setzt man für x einfach die 1 ein, wie man das normal macht.
Wenn du eine FUnktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] hast, und willst den Funktionswert an der Stelle $x=2$ wissen, stetzt du ja auch einfach nur für das x in der Funktion oben die 2 ein, und es kommt 4 raus.
Okay, wieder zurück zu deiner Funktion [mm] $f_k(x)$. [/mm] Wenn wir dort für x die 1 einsetztn, steht da [mm] $f_k(1)=3\cdot(1)^2+k=3+k$.
[/mm]
Damit deine Funktion [mm] $F_k(x)$ [/mm] an der Stelle $x=1$ jetzt aber überhaupt ein Extremum dort haben kann, muss also gelten [mm] $f_k(1)\overset{!}{=}0$, [/mm] also $3+k=0$. Jetzt kann man dann auch sofort die Frage danach beantworten, welchen Wert der Parameter $k$ haben muss, damit die Bedingung oben erfüllt ist.
LG
Kroni
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ok bist du sicher das sich die 0 in klammern auf den wendepunkt bezieht ich versthe das so :
Welchen wert der paranmeter k haben kann damit der graph der funktion fk an der stelle 1 und 0 einen extrempunkt haben kann.
Das selbe gilt für den wendepunkt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich war mir da ziemlich sicher, aber gut, wenn du willst, dass an der Stelle $x=0$ ein Extremum vorliegt, muss zumindest schonmal $k=0$ gelten. Dann heißt deine Funktion aber [mm] $F_0(x)=x^3$, [/mm] und da überprüfe doch noch einmal, ob da tatsächlich ein Extremum vorliegt, denn man muss ja immer noch die Bedingung des Vorzeichenwechsels überprüfen...Was man eigentlich auch schon bei $k=-3$ überprüfen sollte. Da gilt aber für die zweite Ableitung schon [mm] $f_k(x)=6x$, [/mm] also für $x=1$ unabhängig vom k [mm] $f_k(1)=6\not=0$, [/mm] also liegt ein Extremum vor.
Jetzt kannst du ja nochmal überlegen, für welche Werte von k an der Stelle $x=1$ bzw. $x=0$ eine Wendestelle vorliegen kann.
LG
Kroni
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kann es sein das k keinen einfluss auf den wendepunkt hat im vorligen beispiel denn bei der zweiten ableitung fällt k komplett weg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das ist richtig. Die zweite Ableitung heißt ja $F''_k(x)=6x$, d.h. es liegt eine Nullstelle bei x=0 vor, d.h. es gibt immer eine Wendestelle bei $x=0$, egal wie das k gewählt ist, und da dort immer ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung stattfindet.
LG
Kroni
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ok mir dämmert es solangsam mein k ist also -3 also setzte ich die minus dreiin meine funktion f(x) ein dann erhalte ich ein extrema mit dem punkt x=1
die aufgabe beinhaltet ja welchen wert muss der parameter k haben damit der graph der funktion fk an der stelle 1 (stelle =0) einen Extrempunkt haben kann.
das selbe spiel mache ich dann nocheinmal mit der null indem ich in der zweiten ableitung die null für x einsetzte draus folgt das k=0 bzw [mm] f(x)=x^3 [/mm] und für k =-3 [mm] f(x)=x^3-3x
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
jetzt bist du nochmal im Thema verruscht. Ich verschiebe deine Frage gleich nochmal direkt in die andere Frage.
> ok mir dämmert es solangsam mein k ist also -3 also setzte
> ich die minus dreiin meine funktion f(x) ein dann erhalte
> ich ein extrema mit dem punkt x=1
Genau.
>
> die aufgabe beinhaltet ja welchen wert muss der parameter k
> haben damit der graph der funktion fk an der stelle 1
> (stelle =0) einen Extrempunkt haben kann.
> das selbe spiel mache ich dann nocheinmal mit der null
> indem ich in der zweiten ableitung die null für x einsetzte
> draus folgt das k=0 bzw [mm]f(x)=x^3[/mm] und für k =-3 [mm]f(x)=x^3-3x[/mm]
Moment. Die zweite Frage fragt danach, welchen Wert der Parameter k haben muss, damit ein Wendepunkt an der Stelle $x=0$ vorliegt. Also haben wir wieder unsere Funktion, [mm] $F_k(x)=x^3+kx$ [/mm] , [mm] $f_k(x)=3x^2+k$, [/mm] also $f'_k(x)=F''_k(x)=?$
Jetzt die Null einsetzten, und gucken, was passiert...
LG
KRoni
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