Rechteck: Ecken und Winkel ges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:36 Mi 04.05.2005 | | Autor: | viola20 |
Ich habe diese Frage in keine Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten morgen!
Ich habe ziemlich lange an dieser Aufgabe rumgeknobbelt aber ich konnte sie einfach nicht lösen....
Aufgabe: Gegeben sind die Punkte P(5/ -4/ 0), Q(1/0/2), R(7/4/6) und S(-2/-8/-3). Die Strecke PQ ist die Diagonale eines Rechtecks. Eine weitere Ecke liegt auf der durch R und S definierten Geraden g. Bestimme die Koordinaten der fehlenden Ecken und den Winkel zwischen den Rechtecksdiagonalen.
Ich habe eine Geradengleichung für PQ aufgestellt und folgendes erhalten:
x + 2y - 2z + 3 = 0
Zudem habe ich den Vektor PQ erhatlen: PQ= ( -4/4/2)
Ich weiss allerdings nicht ob das stimmt (und wie ich damit weiter komme) und wär sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte.
Lg, Viola20
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Hi, Viola,
> Guten morgen!
Ebenfalls!
> Aufgabe: Gegeben sind die Punkte P(5/ -4/ 0), Q(1/0/2),
> R(7/4/6) und S(-2/-8/-3). Die Strecke PQ ist die Diagonale
> eines Rechtecks. Eine weitere Ecke liegt auf der durch R
> und S definierten Geraden g. Bestimme die Koordinaten der
> fehlenden Ecken und den Winkel zwischen den
> Rechtecksdiagonalen.
>
> Ich habe eine Geradengleichung für PQ aufgestellt und
> folgendes erhalten:
> x + 2y - 2z + 3 = 0
???? Dies ist keine Gerade, sondern eine Ebene!
Außerdem brauchst Du doch eher die Geradengleichung für RS.
Ich schreib sie Dir mal hin:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 4 \\ 6} [/mm] + [mm] k*\vektor{3 \\ 4 \\ 3}
[/mm]
(Den Richtungsvektor hab' ich bereits vereinfacht!)
>
> Zudem habe ich den Vektor PQ erhalten: PQ= ( -4/4/2)
Den brauchst Du erst am Schluss, wenn Du den Winkel zwischen den Diagonalen berechnest!
Erst suchen wir mal den Punkt T auf der Geraden g.
(1) Da er auf g liegt, sind seine Koordinaten : T( 7 + 3k; 4 + 4k; 6 + 3k) (mit noch zu berechnendem Parameter k).
(2) Da bei T ein rechter Winkel sein muss (Rechteck!), müssen die Vektoren [mm] \overrightarrow{PT} [/mm] und [mm] \overrightarrow{QT} [/mm] orthogonal sein, also ihr Skalarprodukt =0 sein.
Daraus kannst Du k berechnen (vermutlich gibt's 2 Lösungen) und daraus T (auch hier: 2 Lösungen).
Versuch' erst mal, das nachzuvollziehen und zu lösen!
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Hallo Viola20
bestimme den Punkt [mm] $\vec [/mm] X$ ( es sollte 2 Lösungen geben ) auf der Geraden
für den das Skalarprodukt von [mm] $\vec [/mm] X - [mm] \vec [/mm] P$ mit [mm] $\vec [/mm] X - [mm] \vec [/mm] Q$ null ist .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mi 04.05.2005 | | Autor: | sT3fan |
Ich versuch mal nach dem bereits angegebenen Ansatz die Aufgabe zu lösen.
[mm] \vec{t}= \vektor{7+3k \\ 4+4k \\ 6+3k}
[/mm]
[mm] \to \overrightarrow{PT}=\vektor{2+3k \\ 8+4k \\ 6+3k}
[/mm]
[mm] \to \overrightarrow{QT}=\vektor{6+3k \\ 4+4k \\ 4+3k}
[/mm]
Da [mm] \overrightarrow{PT} \perp \overrightarrow{QT} [/mm] ist, gilt [mm] \overrightarrow{PT} \* \overrightarrow{QT}=0 \to [/mm] 34(x+1)(x+2)=0
[mm] \to x_{1}=-1 \wedge x_{2}=-2
[/mm]
Das ergibt
[mm] \vec{t}_{1}=\vektor{4 \\ 0 \\ 3} \wedge \vec{t}_{2}=\vektor{1 \\ -4 \\ 0}
[/mm]
Man erhält also zwei mögliche Punkte
[mm] T_{1} [/mm] (4|0|3) und [mm] T_{2} [/mm] (1|-4|0)
Die daraus resultierenden Punkte [mm] U_{1} [/mm] bzw [mm] U_{2} [/mm] erhält man folgendermaßen:
[mm] \vec{u}_{1}= \vec{q}+ \overrightarrow{T_{1}P}=\vektor{2 \\ -4 \\ -1} \to U_{1} [/mm] (2|-4|-1)
[mm] \vec{u}_{2}= \vec{q}+ \overrightarrow{T_{2}P}=\vektor{5 \\ 0 \\ 2} \to U_{2} [/mm] (5|0|2)
LG
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 04.05.2005 | | Autor: | viola20 |
Hallo!
Ich glaub ich habs geschafft! Resultate hab ich erhalten, ich hoffe, dass sie richtig sind. Vielen Dank Zwerglein und FriedrichLaher!!! Lg, Viola20
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