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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Do 02.03.2006 | | Autor: | Yna |
| Aufgabe | Begründen Sie, dass die beiden Extrempunkte und die beiden vom Ursprung verschiedenen Wendepunkte ein Parallelogramm bilden. Für welche Werte von a erhält man ein Rechteck?
[mm]f_{a}(x)=\bruch{x}{x^{2} + a^{2}}[/mm] und [mm]a>0[/mm] |
Hallo,
das ist nur eine Teilaufgabe der gesamten Aufgabe, aber der Rest war mir klar und da ging es auch nur um Symmetrie, Extrema und Wendepunkte. Ich hoffe, es ist ok, dass ich das ganze nicht noch mit abgeschrieben habe. ;)
Erstmal meine Ableitungen:
[mm]f_{a}'(x)=\bruch{-x^{2}+a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}[/mm]
[mm]f_{a}''(x)=\bruch{2x^{3}-6a^{2}x}{(x^{2}+a^{2})^{3}}[/mm]
auf die 3. Ableitung durfte verzichtet werden.
Ich denke mal, das sollte richtig sein. :)
Als Hochpunkt habe ich [mm]( a | \bruch{1}{2a} )[/mm] und als Tiefpunkt [mm]( -a | -\bruch{1}{2a} )[/mm].
Für die Wendepunkte einmal den Ursprung, also [mm]WP_{1}(0|0)[/mm] und [mm]WP_{2}\left( \wurzel{3}*a | \bruch{\wurzel{3}}{4a}\right)[/mm] sowie [mm]WP_{3}\left( -\wurzel{3}*a | -\bruch{\wurzel{3}}{4a}\right)[/mm].
Um zu begründen, dass der Hochpunkt, der Tiefpunkt und die zwei Wendepunkte, die verschieden vom Ursprung sind ein Parallelogramm bilden, habe ich den Abstand zwischen den Punkten bestimmt und verglichen. Also jeweils zwischen den gegenüberliegenden Geraden, wenn man so will.
[mm]|WP_{2}HP|=\wurzel{(\wurzel{3}a - a)^{2} + \left( \bruch{\wurzel{3}}{4a} - \bruch{1}{2a}\right)^{2}} = \wurzel{\bruch{0,536a^{4} + 0,00449}{a^{2}}} [/mm]
[mm]|WP_{3}TP|=\wurzel{(-\wurzel{3}a + a)^{2} + \left(- \bruch{\wurzel{3}}{4a} + \bruch{1}{2a}\right)^{2}} = \wurzel{\bruch{0,536a^{4} + 0,00449}{a^{2}}} [/mm]
also:
[mm] |WP_{2}HP| = |WP_{3}TP|[/mm]
jetzt noch das gleiche mit den zwei anderen Geraden:
[mm]|WP_{3}HP|=\wurzel{(-\wurzel{3}a - a)^{2} + \left(- \bruch{\wurzel{3}}{4a} - \bruch{1}{2a}\right)^{2}} = \wurzel{\bruch{7,46a^{4} + 0,871}{a^{2}}} [/mm]
[mm]|WP_{2}TP|=\wurzel{(\wurzel{3}a + a)^{2} + \left( \bruch{\wurzel{3}}{4a} + \bruch{1}{2a}\right)^{2}} = \wurzel{\bruch{7,46a^{4} + 0,871}{a^{2}}} [/mm]
also:
[mm] |WP_{3}HP| = |WP_{2}TP|[/mm]
Damit hoffe ich das begründet zu haben. ;)
Jetzt kommt der Teil, der mir nicht klar ist: für welche a das Parallelogramm ein Rechteck wird.
Ich habe mir überlegt das mit Hilfe der Linearen Algebra zu machen und aus
[mm] WP_{3}HP [/mm] und aus [mm] WP_{2}HP[/mm] Gerade zu erstellen. Wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren zweier Geraden 0 ergibt, sind die beiden orthogonal.
[mm] \overrightarrow{WP_{3}HP }= \vektor{a \\ \bruch{1}{2a}} - \vektor{-\wurzel{3}a\\ -\bruch{\wurzel{3}}{4a}} = \vektor{2,732a \\ \bruch{0,933}{a}} [/mm]
[mm] \overrightarrow{WP_{2}HP} = \vektor{a \\ \bruch{1}{2a}} - \vektor{\wurzel{3}a\\ \bruch{\wurzel{3}}{4a}} = \vektor{-0,732a \\ \bruch{0,067}{a}} [/mm]
jetzt das Skalarprodukt daraus:
[mm] \vektor{-0,732a \\ \bruch{0,067}{a}} \circ \vektor{2,732a \\ \bruch{0,933}{a}} = 0[/mm]
[mm]-1,9998a^{2} + \bruch{0,0625}{a^{2}} = 0[/mm]
[mm]-1,9998a^{4} + 0,0625 = 0[/mm]
[mm]0,0625 = 1,9998a^{4}[/mm]
[mm]0,0313 = a^{4}[/mm]
[mm]a_{1}^{2}= 0,177 \vee a_{2}^{2}= -0,177[/mm]
[mm]a_{1}= 0,4206 \vee a_{2}= -0,4206[/mm]
Soweit, so gut... irgendwie sehen die Ergebnisse nicht so toll aus und die grosse Frage ist ja auch, ob mein Weg überhaupt möglich ist. ;)
Für Anregungen oder Hilfe wäre ich sehr dankbar. :)
Lg,
Yna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Yna,
> Begründen Sie, dass die beiden Extrempunkte und die beiden
> vom Ursprung verschiedenen Wendepunkte ein Parallelogramm
> bilden. Für welche Werte von a erhält man ein Rechteck?
>
> [mm]f_{a}(x)=\bruch{x}{x^{2} + a^{2}}[/mm] und [mm]a>0[/mm]
> Hallo,
>
>
> das ist nur eine Teilaufgabe der gesamten Aufgabe, aber der
> Rest war mir klar und da ging es auch nur um Symmetrie,
> Extrema und Wendepunkte. Ich hoffe, es ist ok, dass ich das
> ganze nicht noch mit abgeschrieben habe. ;)
>
> Erstmal meine Ableitungen:
>
> [mm]f_{a}'(x)=\bruch{-x^{2}+a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]f_{a}''(x)=\bruch{2x^{3}-6a^{2}x}{(x^{2}+a^{2})^{3}}[/mm]
>
> auf die 3. Ableitung durfte verzichtet werden.
> Ich denke mal, das sollte richtig sein. :)
>
> Als Hochpunkt habe ich [mm]( a | \bruch{1}{2a} )[/mm] und als
> Tiefpunkt [mm]( -a | -\bruch{1}{2a} )[/mm].
>
> Für die Wendepunkte einmal den Ursprung, also [mm]WP_{1}(0|0)[/mm]
> und [mm]WP_{2}\left( \wurzel{3}*a | \bruch{\wurzel{3}}{4a}\right)[/mm]
> sowie [mm]WP_{3}\left( -\wurzel{3}*a | -\bruch{\wurzel{3}}{4a}\right)[/mm].
>
> Um zu begründen, dass der Hochpunkt, der Tiefpunkt und die
> zwei Wendepunkte, die verschieden vom Ursprung sind ein
> Parallelogramm bilden, habe ich den Abstand zwischen den
> Punkten bestimmt und verglichen. Also jeweils zwischen den
> gegenüberliegenden Geraden, wenn man so will.
>
> [mm]|WP_{2}HP|=\wurzel{(\wurzel{3}a - a)^{2} + \left( \bruch{\wurzel{3}}{4a} - \bruch{1}{2a}\right)^{2}} = \wurzel{\bruch{0,536a^{4} + 0,00449}{a^{2}}}[/mm]
>
> [mm]|WP_{3}TP|=\wurzel{(-\wurzel{3}a + a)^{2} + \left(- \bruch{\wurzel{3}}{4a} + \bruch{1}{2a}\right)^{2}} = \wurzel{\bruch{0,536a^{4} + 0,00449}{a^{2}}}[/mm]
>
> also:
>
> [mm]|WP_{2}HP| = |WP_{3}TP|[/mm]
>
>
> jetzt noch das gleiche mit den zwei anderen Geraden:
>
> [mm]|WP_{3}HP|=\wurzel{(-\wurzel{3}a - a)^{2} + \left(- \bruch{\wurzel{3}}{4a} - \bruch{1}{2a}\right)^{2}} = \wurzel{\bruch{7,46a^{4} + 0,871}{a^{2}}}[/mm]
>
> [mm]|WP_{2}TP|=\wurzel{(\wurzel{3}a + a)^{2} + \left( \bruch{\wurzel{3}}{4a} + \bruch{1}{2a}\right)^{2}} = \wurzel{\bruch{7,46a^{4} + 0,871}{a^{2}}}[/mm]
>
> also:
>
> [mm]|WP_{3}HP| = |WP_{2}TP|[/mm]
>
> Damit hoffe ich das begründet zu haben. ;)
Ich hab' das natürlich nicht alles nachgerechnet! Der Weg aber scheint mir richtig!
> Jetzt kommt der Teil, der mir nicht klar ist: für welche a
> das Parallelogramm ein Rechteck wird.
>
> Ich habe mir überlegt das mit Hilfe der Linearen Algebra zu
> machen und aus
> [mm]WP_{3}HP[/mm] und aus [mm]WP_{2}HP[/mm] Gerade zu erstellen. Wenn das
> Skalarprodukt der Richtungsvektoren zweier Geraden 0
> ergibt, sind die beiden orthogonal.
>
> [mm]\overrightarrow{WP_{3}HP }= \vektor{a \\ \bruch{1}{2a}} - \vektor{-\wurzel{3}a\\ -\bruch{\wurzel{3}}{4a}} = \vektor{2,732a \\ \bruch{0,933}{a}}[/mm]
Die Idee funktioniert sicher! Aber Du solltest nicht ständig mit gerundeten Werten arbeiten!
> [mm]\overrightarrow{WP_{2}HP} = \vektor{a \\ \bruch{1}{2a}} - \vektor{\wurzel{3}a\\ \bruch{\wurzel{3}}{4a}} = \vektor{-0,732a \\ \bruch{0,067}{a}}[/mm]
>
> jetzt das Skalarprodukt daraus:
>
> [mm]\vektor{-0,732a \\ \bruch{0,067}{a}} \circ \vektor{2,732a \\ \bruch{0,933}{a}} = 0[/mm]
>
> [mm]-1,9998a^{2} + \bruch{0,0625}{a^{2}} = 0[/mm]
> [mm]-1,9998a^{4} + 0,0625 = 0[/mm]
Ohne Rundungen ergibt sich hier:
[mm] -2*a^{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] = 0
>
> [mm]0,0625 = 1,9998a^{4}[/mm]
> [mm]0,0313 = a^{4}[/mm]
> [mm]a_{1}^{2}= 0,177 \vee a_{2}^{2}= -0,177[/mm]
>
> [mm]a_{1}= 0,4206 \vee a_{2}= -0,4206[/mm]
bzw. exakt: [mm] a_{1/2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel[4]{\bruch{1}{32}}, [/mm] was Du noch ein bissl "schöner" schreiben könntest!
> Soweit, so gut... irgendwie sehen die Ergebnisse nicht so
> toll aus und die grosse Frage ist ja auch, ob mein Weg
> überhaupt möglich ist. ;)
Der Weg ist sicher brauchbar!
Für Rechenfehler aber kann ich Dir auch keine Garantie geben!
Eine Alternative wäre, mit den Steigungen der Geraden [mm] HPWP_{2} [/mm] und [mm] HPWP_{3} [/mm] zu arbeiten. Wegen des rechten Winkels müsste deren Produkt -1 ergeben. Weiß aber nicht, ob das wesentlich einfacher geht!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Do 02.03.2006 | | Autor: | Yna |
Hallo Zwerglein,
wenn der Weg richtig ist, dann reicht mir das eigentlich schon. Danke. :)
Dass das mit den Steigungen auch geht, hat man mir auch schon gesagt, nur leider habe ich da überhaupt gar keine Idee, wie das funktionieren soll, deshalb dieser - möglicherweise etwas umständlichere - Weg.
Danke jedenfalls für deine Hilfe.
LG,
Yna
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