Rechts- und Linkstranslation < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 16.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe und y [mm] \in [/mm] G. Wir betrachten die Linkstranslation um y
[mm] L_y [/mm] : G [mm] \to [/mm] G, x [mm] \mapsto [/mm] y [mm] \otimes [/mm] x
[mm] R_y [/mm] : G [mm] \to [/mm] G, x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \otimes [/mm] y
Zeigen Sie, dass [mm] L_y [/mm] und [mm] R_y [/mm] bijektiv sind und geben Sie die inversen Abbildungen an. |
Hallo.
Leider steht im Skript nichts von Rechts- und Linkstranslation.
Ob mir diese wohl jemand erläutern kann?
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Hallo,
die Begriffe sind eigentlich ganz einfach.
Zunächst die Linktranslation:
[mm] L_y:G{}\to{}G, x{}\mapsto{}y{}\otimes{}x
[/mm]
G ist eine Gruppe mit einer bestimmten Verknüpfung [mm] \otimes. [/mm] Du bildest nun mit der Linkstranslation (dies ist eine Abbildung) in G wieder selbst ab. Jetzt bezeichnet G aber die Menge.
Bei solch einer Linkstranslation nimmt man sich ein festes [mm] y\in{G}. [/mm] Und nun wird ganz normal eine Abbildung definiert:
[mm] x\mapsto{y}\otimes [/mm] x.
Das ist auch schon alles. Du hast ein festes y und setzt dann deine Variable immer rechts an den festen Wert. Bei der Rechtsoperation ist es genau andersherum.
Bsp: [mm] G=(\IZ,+) [/mm] und y=1
Dann ist die Linkstranslation:
[mm] L_1: x\mapsto1+x, [/mm] also [mm] L_1(x)=1+x
[/mm]
und die Rechtstranslation:
[mm] R_1: x\mapsto{}x+1, [/mm] also [mm] R_1(x)=x+1
[/mm]
Deine Aufgabe ist es nun, die Bijektivität der Translationen zu zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 17.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Danke für die Antwort.
Na dann prüfe ich erst, ob [mm] L_y [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] y [mm] \otimes [/mm] x injektiv:
x [mm] \mapsto [/mm] y [mm] \otimes [/mm] x : y + [mm] x_1 [/mm] = y + [mm] x_2 \gdw x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
Ist also injektiv. Genauso für y * x.
Überprüfung auf Surjektivität:
x [mm] \mapsto [/mm] y [mm] \otimes [/mm] x : f(x) = y [mm] \gdw [/mm] y + x = y
Umstellen nach x: x = 0
Einsetzen von x ergibt y = y.
Ist also surjektiv, genauso für y * x.
Daraus folgt Bijektivität.
Bei der Rechtstranslation erfolgt das dann ebenso.
Doch wie bilde ich jetzt noch die Umkehrfunktion? Gibt es da eine Anleitung?
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> Danke für die Antwort.
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> Na dann prüfe ich erst, ob [mm]L_y[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x
> injektiv:
>
>
> x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x : y + [mm]x_1[/mm] = y + [mm]x_2 \gdw x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
>
> Ist also injektiv. Genauso für y * x.
Das ist zwar richtig, aber nicht zufriedenstellend begründet. Du befindest dich zur Zeit noch in einer Phase, wo man von dir erwartet, dass du jeden Schritt akribisch begründest. Die Operation muss ja gar nicht + sein, sie ist ja [mm] \otimes, [/mm] und [mm] \otimes [/mm] könnte z.b. die Multiplikation bedeuten:
Also: y [mm] \otimes x_1 [/mm] = y [mm] \otimes x_2 \Rightarrow...
[/mm]
( Tipp: 0*3 = 0*5 [mm] \Rightarrow [/mm] 3=5 ?)
>
>
> Überprüfung auf Surjektivität:
>
> x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x : f(x) = y [mm]\gdw[/mm] y + x = y
Vorsicht: Das eine y hat mit dem anderen nichts zu tun!!!
Besser so:
[mm] L_a: [/mm] x [mm] \rightarrow a\otimes [/mm] x = y
Gibt es zu jedem y ein x, so dass das funktioniert?
(Hier genauso akribisch: Wie funktioniert das Umstellen?)
>
> Umstellen nach x: x = 0
>
> Einsetzen von x ergibt y = y.
>
> Ist also surjektiv, genauso für y * x.
>
> Daraus folgt Bijektivität.
>
>
> Bei der Rechtstranslation erfolgt das dann ebenso.
Ja, das muss man dann nicht mehr groß erläutern.
>
>
> Doch wie bilde ich jetzt noch die Umkehrfunktion? Gibt es
> da eine Anleitung?
>
>
[mm] L_a: [/mm] a*x=y Vertausche nun x und y und stelle nach y um (wie geht das?), dann hast du die Umkehrfunktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 17.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> > Danke für die Antwort.
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> > Na dann prüfe ich erst, ob [mm]L_y[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x
> > injektiv:
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> >
> > x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x : y + [mm]x_1[/mm] = y + [mm]x_2 \gdw x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
> >
> > Ist also injektiv. Genauso für y * x.
>
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> Das ist zwar richtig, aber nicht zufriedenstellend
> begründet. Du befindest dich zur Zeit noch in einer Phase,
> wo man von dir erwartet, dass du jeden Schritt akribisch
> begründest. Die Operation muss ja gar nicht + sein, sie
> ist ja [mm]\otimes,[/mm] und [mm]\otimes[/mm] könnte z.b. die Multiplikation
> bedeuten:
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> Also: y [mm]\otimes x_1[/mm] = y [mm]\otimes x_2 \Rightarrow...[/mm]
>
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> ( Tipp: 0*3 = 0*5 [mm]\Rightarrow[/mm] 3=5 ?)
>
Impliziert das nicht 0=0? Also eine Aussage, die mir nicht sagt, ob Injektivität vorliegt?
Kann ich die Injektivität nicht einmal zeigen für x [mm] \mapsto [/mm] a*x und
x [mm] \mapsto [/mm] a+x
Mit Verknüpfungen zeigen kann ich nicht wirklich und mit der Abbildung + bzw * zeige ich ja dann quasi die Injektivität.
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> >
> > Überprüfung auf Surjektivität:
> >
> > x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x : f(x) = y [mm]\gdw[/mm] y + x = y
>
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> Vorsicht: Das eine y hat mit dem anderen nichts zu tun!!!
> Besser so:
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> [mm]L_a:[/mm] x [mm]\rightarrow a\otimes[/mm] x = y
>
> Gibt es zu jedem y ein x, so dass das funktioniert?
>
> (Hier genauso akribisch: Wie funktioniert das Umstellen?)
>
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> >
> > Umstellen nach x: x = 0
> >
> > Einsetzen von x ergibt y = y.
> >
> > Ist also surjektiv, genauso für y * x.
Okay, dann definiere ich mein y [mm] \in [/mm] G als a.  Sieht auch gleich viel schöner aus.
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> >
> > Daraus folgt Bijektivität.
> >
> >
> > Bei der Rechtstranslation erfolgt das dann ebenso.
>
> Ja, das muss man dann nicht mehr groß erläutern.
>
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> >
> > Doch wie bilde ich jetzt noch die Umkehrfunktion? Gibt es
> > da eine Anleitung?
> >
> >
> [mm]L_a:[/mm] a*x=y Vertausche nun x und y und stelle nach y um
> (wie geht das?), dann hast du die Umkehrfunktion.
Vertauschen von x und y liefert mir: a*y=x
und umstellen nach y liefert mir: y = [mm] \bruch{x}{a}
[/mm]
Also ist [mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{x}{a}.
[/mm]
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> > > Danke für die Antwort.
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> > > Na dann prüfe ich erst, ob [mm]L_y[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x
> > > injektiv:
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> > >
> > > x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x : y + [mm]x_1[/mm] = y + [mm]x_2 \gdw x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
> > >
> > > Ist also injektiv. Genauso für y * x.
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> >
> > Das ist zwar richtig, aber nicht zufriedenstellend
> > begründet. Du befindest dich zur Zeit noch in einer Phase,
> > wo man von dir erwartet, dass du jeden Schritt akribisch
> > begründest. Die Operation muss ja gar nicht + sein, sie
> > ist ja [mm]\otimes,[/mm] und [mm]\otimes[/mm] könnte z.b. die Multiplikation
> > bedeuten:
> >
> > Also: y [mm]\otimes x_1[/mm] = y [mm]\otimes x_2 \Rightarrow...[/mm]
> >
> >
> > ( Tipp: 0*3 = 0*5 [mm]\Rightarrow[/mm] 3=5 ?)
> >
> Impliziert das nicht 0=0? Also eine Aussage, die mir nicht
> sagt, ob Injektivität vorliegt?
>
> Kann ich die Injektivität nicht einmal zeigen für x
> [mm]\mapsto[/mm] a*x und
> x [mm]\mapsto[/mm] a+x
>
> Mit Verknüpfungen zeigen kann ich nicht wirklich und mit
> der Abbildung + bzw * zeige ich ja dann quasi die
> Injektivität.
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> > >
> > > Überprüfung auf Surjektivität:
> > >
> > > x [mm]\mapsto[/mm] y [mm]\otimes[/mm] x : f(x) = y [mm]\gdw[/mm] y + x = y
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> > Vorsicht: Das eine y hat mit dem anderen nichts zu tun!!!
> > Besser so:
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> > [mm]L_a:[/mm] x [mm]\rightarrow a\otimes[/mm] x = y
> >
> > Gibt es zu jedem y ein x, so dass das funktioniert?
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> > (Hier genauso akribisch: Wie funktioniert das Umstellen?)
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> > > Umstellen nach x: x = 0
> > >
> > > Einsetzen von x ergibt y = y.
> > >
> > > Ist also surjektiv, genauso für y * x.
>
> Okay, dann definiere ich mein y [mm]\in[/mm] G als a. Sieht auch
> gleich viel schöner aus.
>
>
> >
> > >
> > > Daraus folgt Bijektivität.
> > >
> > >
> > > Bei der Rechtstranslation erfolgt das dann ebenso.
> >
> > Ja, das muss man dann nicht mehr groß erläutern.
> >
> > >
> > >
> > > Doch wie bilde ich jetzt noch die Umkehrfunktion? Gibt es
> > > da eine Anleitung?
> > >
> > >
> > [mm]L_a:[/mm] a*x=y Vertausche nun x und y und stelle nach y um
> > (wie geht das?), dann hast du die Umkehrfunktion.
>
> Vertauschen von x und y liefert mir: a*y=x
>
> und umstellen nach y liefert mir: y = [mm]\bruch{x}{a}[/mm]
>
> Also ist [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{x}{a}.[/mm]
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Interessant. Woher nimmst du den Bruchstrich? Den gibt es zwar bei der Multiplikation, aber nicht bei der Addition. Was nimmst du, wenn a [mm] \otimes [/mm] b = [mm] a^b [/mm] sein soll? Oder a [mm] \otimes [/mm] b = ggT(a,b)?
Tatsächlich musst du die Gruppeneigenschaften bemühen.
Ich zeige dir das mal an einem anderen Beispiel, bei dem alles vorkommt, was du brauchst:
Zu beweisen: Jede Gleichung a [mm] \otimes [/mm] x = b mit a und b [mm] \in [/mm] G ist nach x auflösbar mit x [mm] \in [/mm] G.
Idee: Man muss nur das a "entfernen", aber dazu braucht man alle (!) Gruppeneigenschaften.
Beweis:
Da a [mm] \in [/mm] G ist, gibt es ein Element [mm] a^{-1} [/mm] in G mit [mm] a^{-1} \otimes [/mm] a = e, wobei e das inverse Element von G ist.
EXISTENZ DES NEUTRALEN UND INVERSEN ELEMENTES
Aus a [mm] \otimes [/mm] x = b folgt nun: [mm] a^{-1} \otimes [/mm] (a [mm] \otimes [/mm] x) = [mm] a^{-1} \otimes [/mm] b, wobei wegen der Abgeschlossenheit [mm] a^{-1} \otimes [/mm] b [mm] \in [/mm] G ist. ABGESCHLOSSENHEIT
Nun kann man umklammern:
[mm] a^{-1} \otimes [/mm] (a [mm] \otimes [/mm] x) = [mm] a^{-1} \otimes [/mm] b [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (a^{-1} \otimes [/mm] a) [mm] \otimes [/mm] x = [mm] a^{-1} \otimes [/mm] b ASSOZIATIVITÄT
Das ist nun äquivalent zu e [mm] \otimes [/mm] x = [mm] a^{-1} \otimes [/mm] b und das zu x = [mm] a^{-1} \otimes [/mm] b, wobei x [mm] \in [/mm] G ist.
Damit ist die Gleichung mit logischen Mitteln nach x aufgelöst.
Also: Denke an das Neutrale und Inverse sowie an das Klammern und die Assoziativität.
Du weißt nun hoffentlich auch, warum aus 0*3=0*5 nicht 3=5 folgt. 0 hat kein Inverses, [mm] \IN [/mm] bzw. [mm] \IR [/mm] sind keine Gruppen bezüglich der Multiplikation. [mm] (\IR [/mm] ohne 0 aber wohl)
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