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| Aufgabe | | Sei [mm] G=S_3 [/mm] , sei H die zyklische Untergruppe erzeugt durch den 2 zykel (1,2) . Geben Sie alle Rechtsnebenklassen von H an. |
Hallo,
ich bin mir hier nicht ganz sicher, wie das funktioniert, die Untergruppe erzeugt durch (1,2) sind die Permutationen:
(12), (1)(2)(3) also die Identität und der gegebene zykel. Wie gebe ich jetzt die unterschiedlichen Rechtsnebenklassen an ? Es muss doch einen systematischen Weg geben da vorzugehen, oder ?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:46 Mi 12.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]G=S_3[/mm] , sei H die zyklische Untergruppe erzeugt durch
> den 2 zykel (1,2) . Geben Sie alle Rechtsnebenklassen von H
> an.
> Hallo,
>
> ich bin mir hier nicht ganz sicher, wie das funktioniert,
> die Untergruppe erzeugt durch (1,2) sind die
> Permutationen:
>
> (12), (1)(2)(3) also die Identität und der gegebene zykel.
> Wie gebe ich jetzt die unterschiedlichen Rechtsnebenklassen
> an ? Es muss doch einen systematischen Weg geben da
> vorzugehen, oder ?
Ja. (Das wurd hier vermutlich auch schon 100x besprochen  )
Nimm dir irgendein Element [mm] $g_1$ [/mm] aus [mm] $S_3$. [/mm] Berechne die Nebenklasse $H [mm] g_1$.
[/mm]
Dann nimm dir ein weiteres Element [mm] $g_2$, [/mm] welches nicht in $H [mm] g_1$ [/mm] liegt. Berechne $H [mm] g_2$.
[/mm]
Nun nimm dir ein Element [mm] $g_3$, [/mm] welches weder in $H [mm] g_1$ [/mm] noch in $H [mm] g_2$ [/mm] liegt. Berechne $H [mm] g_3$ [/mm] (das ist besonders einfach, da du hier schon wissen kannst was herauskommt).
In einem allgemeineren Szenario fuer $G$ und $H$ musst du immer so weiter machen, in diesem Fall bist du jedoch hier schon fertig, da es nach Lagrange [mm] $\frac{|G|}{|H|} [/mm] = [mm] \frac{3!}{2} [/mm] = 3$ Rechtsnebenklassen von $H$ in $G$ gibt.
LG Felix
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Hi felix,
danke für die antwort. Mir ist klar, dass es euch wahrscheinlich schon zu den Ohren rauskommen, das ändert leider nichts daran, dass ich es leider noch nicht ganz verstanden habe.
Zurück zur Frage:
Also ich habe H gegeben durch [mm] H=\{(12),(1)(2)(3)\}. [/mm]
[mm] G=\{(123),(132),(12),(13),(23);(1)(2)(3)\}
[/mm]
Es gibt also drei Rechtsnebenklassen, ich nehme mir jetzt ein Element aus G, zum Beispiel (123) und bestimme H(123) , also
(12)*(123)=(13)(2)
(1)(2)(3)*(123)=(123)
Nun nehmen wir ein anderes Element aus G was nicht in H(123) ist, das wäre z.B. (132) . also H(132)=(12)(132)=(23)(1) und (1)(2)(3)*(132)=(132)
Die andere Rechtsnebenklasse ist H(1)(2)(3) . Damit wäre ich dann durch und die verschiedenen Rechtsnebenklassen sind:
H(1)(2)(3) , H(123) , H(132)
Stimmts ?
Lg
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Hallo
> Hi felix,
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> danke für die antwort. Mir ist klar, dass es euch
> wahrscheinlich schon zu den Ohren rauskommen, das ändert
> leider nichts daran, dass ich es leider noch nicht ganz
> verstanden habe.
>
> Zurück zur Frage:
>
> Also ich habe H gegeben durch [mm]H=\{(12),(1)(2)(3)\}.[/mm]
>
> [mm]G=\{(123),(132),(12),(13),(23);(1)(2)(3)\}[/mm]
>
> Es gibt also drei Rechtsnebenklassen, ich nehme mir jetzt
> ein Element aus G, zum Beispiel (123) und bestimme H(123) ,
> also
>
> (12)*(123)=(13)(2)
> (1)(2)(3)*(123)=(123)
>
Öhm.. das stimmt hier nicht.. rechne nochmals [mm] (12)\circ(123) [/mm] aus.. da sollte (23) rauskommen.
> Nun nehmen wir ein anderes Element aus G was nicht in
> H(123) ist, das wäre z.B. (132) . also
> H(132)=(12)(132)=(23)(1) und (1)(2)(3)*(132)=(132)
>
> Die andere Rechtsnebenklasse ist H(1)(2)(3) . Damit wäre
> ich dann durch und die verschiedenen Rechtsnebenklassen
> sind:
>
> H(1)(2)(3) , H(123) , H(132)
>
> Stimmts ?
Du musst die Elemente hinschreiben.
Also (ich schreibe nun id anstatt (1)(2)(3)...)
Zuerst bemerkst du, dass H(id) = H(12) = H = [mm] \underline{\{id,(12)\}} [/mm] (Siehst du es?). Das ist schonmal ne Rechtsnebenklasse..
Dann nimmste z.B dein Element wie oben (123) und berechnest [mm] (12)\circ(123) [/mm] = (23) und [mm] (id)\circ(123) [/mm] = (123)
Das gibt dir eine zweite Rechtsnebenklasse [mm] \underline{\{(23),(123)\}}
[/mm]
Jetzt noch ein drittes Element. (z.B wie du genommen hast (132), aber dann richtig ausrechnen! Denn [mm] (12)\circ(132) \neq [/mm] (23)...).
Im prinzip hattest du verstanden, was zu machen ist.. aber du musst die Zykel halt richtig ausrechnen :)
Grüsse, Amaro
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