Rechtsnebenklassen = Linksneb. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Zeige, dass die Anzahl der Linksnebenklassen gleich der Anzahl der Rechtsnebenklassen ist, d.h. das gilt:
[mm] $|\{Ug|g\in G\}| [/mm] = [mm] |\{gU|g\in G\}|$
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zunächst [mm] $Ug_{1} [/mm] = [mm] Ug_{2} \gdw g^{-1}_{1}U [/mm] = [mm] g_{2}^{-1}U$! [/mm] |
Hallo!
Mit obiger Aufgabe habe ich ein Problem, d.h. ich kann sie nicht lösen. Zunächst habe ich versucht, den Hinweis zu zeigen:
Es gelte [mm] $Ug_{1} [/mm] = [mm] Ug_{2}$. [/mm] für [mm] $g_{1},g_{2}\in [/mm] G$. Dann gibt es also [mm] $u_{1},u_{2}\in [/mm] U$ sodass
[mm] $u_{1}g_{1} [/mm] = [mm] u_{2}g_{2}$ [/mm] | [mm] ()*g_{2}^{-1}
[/mm]
[mm] $u_{1}g_{1}*g_{2}^{-1} [/mm] = [mm] u_{2}$ [/mm] | [mm] u_{1}^{-1}*()
[/mm]
[mm] $g_{1}*g_{2}^{-1} [/mm] = [mm] u_{1}^{-1}*u_{2} \in [/mm] U$
D.h. [mm] $g_{1}*g_{2}^{-1} \in [/mm] U$. Ich habe gelesen, dass man nun
[mm] $g_{1}^{-1}U [/mm] = [mm] g_{2}^{-1}U$
[/mm]
hinschreiben kann, aber mir ist (beweistechnisch) noch nicht klar, wie ich das zeigen kann.
Ich habe nun mal angenommen, dass der Hinweis gegeben ist. Irgendwie muss ich ja nun zu der Behauptung kommen. Meine Idee wäre, zu zeigen, dass wenn ein Element in der Linksnebenklasse ist ein ähnliches Element auch in der Rechtsnebenklasse zu finden ist. Ich müsste mir also als erstes ein bestimmtes Elements aus der Linksnebenklasse rausgreifen:
Sei [mm] $Ug_{1} \in \{Ug|g\in G\}$.
[/mm]
Aber ehrlich gesagt weiß ich nicht was ich jetzt tun könnte! Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich oben und hier weiterverfahren muss!
Danke für Eure Mühe,
Stefan.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
wenn Du im ersten Schritt weißt, daß [mm] u_1, u_2 [/mm] existieren mit
[mm] u_1g_1=u_2g_2,
[/mm]
dann benutzt doch die Identität [mm] (u_1g_1)^{-1} [/mm] = [mm] g_1^{-1}u_1^{-1}. [/mm] Es ist sogar noch etwas einfacher, wenn Du verwendest, daß für [mm] g_1,g_2 [/mm] aus einer Rechtsnebenklasse ein Element u aus der Untergruppe existiert mit [mm] ug_1=g_2. [/mm] Damit solltest Du erhalten, daß zwei Elemente genau dann in einer Rechtsnebenklasse liegen, wenn ihre Inversen in einer Linksnebenklasse liegen. Dies liefert auch schon eine Idee für die Definition einer Abbildung zwischen der Menge der Linksnebenklassen und der Menge der Rechtsnebenklassen, wenn man nämlich für ein g aus der Gruppe Ug auf [mm] g^{-1}U [/mm] abbildet. Du musst also nur noch zeigen, daß diese Unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist (Hinweis) und daß diese Abbildung bijektiv ist.
Gruß,
Matthias
|
|
|
|
