www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Reduktion der Ordnung
Reduktion der Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Reduktion der Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:45 Sa 18.12.2010
Autor: pppppp

Aufgabe
Gegeben sei

[mm]x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=x^3lnx[/mm]

Die dazugehörige homogene DGL besitz eine Lösung der Form [mm]y(x)= Ax+B[/mm]

a)Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des homogenen Problems durch Reduktion der Ordnung.
b)Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung des inhomogenen Problems mittels Variation der Konstanten
c)Lösen Sie das AWP der inhomogenen Differentialgleichung mit y(1)=y'(1)=1



Mein Ergebnis für a ist [mm]y(x)= c_1x+c_2[/mm] , wenn man das einsetzt kommt michts Gutes heraus. Gefühlsmäßig müsset [mm]y(x)=c_1x[/mm] eine allgemeine Lösung sein, das ist aber leider nicht mein Ergebnis [ohwell] Vielleich kamm mir irgendjemand weiterhelfen, hier ist mein Rechenweg:

Eine Lösung ist [mm]y_1(x)=Ax+B=x[/mm]

[mm]y_1=x[/mm]   [mm]y_1'=1[/mm]   [mm]y_1''=0[/mm]

Multiplikationsansatz:
[mm]y=y_1*y_L=x*y_L[/mm]     [mm]y'=y_1'*y_L+y_1*y_L'=y_L+x*y'_L[/mm]    [mm]y''=y_1''*y_L+2*y_1'*y_L'+y_1*y_L''=2y_L'+x*y_L''[/mm]

Einsetzen:
[mm]x^2(2y_L'+x*y_L'')-2x(y_L+x*y'_L)+2(x*y_L)=0[/mm]
[mm]2x^2y_L'+x^3y_L''-2xy_L-2x^2y_L'+2xy_L=0[/mm]
[mm]x^3y_L''=0[/mm]

Reduktion der Ordnung durch [mm]y_L''=U[/mm]
[mm]x^3U=0 \gdw U=0[/mm]

[mm]\integral_{}^{}U dx = c_1 [/mm]     [mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm]
[mm]\integral_{}^{}c_1 dx = c_1 x + c_2[/mm]

Rücksubstitution [mm]y_L''=U[/mm]
[mm] $y_L'=c_1$ [/mm]
[mm] $y_L=c_1x+c_2$ [/mm]

allgemeine Lösung:
[mm] $y_L=c_1x+c_2$ [/mm]


Leider erhält man z.B. mit c2=5 das Ergebnis 10=0... Ich glaube, dass irgendwo ein Fehler im Ansatz sein muss[knirsch], denn ähnliche Fehler mache ich bei anderen Aufgaben auch. Bin für jeden Tipp Dankbar


        
Bezug
Reduktion der Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Sa 18.12.2010
Autor: MathePower

Halllo pppppp,

> Gegeben sei
>  
> [mm]x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=x^3lnx[/mm]
>  
> Die dazugehörige homogene DGL besitz eine Lösung der Form
> [mm]y(x)= Ax+B[/mm]
>  
> a)Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des homogenen
> Problems durch Reduktion der Ordnung.
>  b)Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung des inhomogenen
> Problems mittels Variation der Konstanten
>  c)Lösen Sie das AWP der inhomogenen Differentialgleichung
> mit y(1)=y'(1)=1
>  
>
> Mein Ergebnis für a ist [mm]y(x)= c_1x+c_2[/mm] , wenn man das
> einsetzt kommt michts Gutes heraus. Gefühlsmäßig müsset
> [mm]y(x)=c_1x[/mm] eine allgemeine Lösung sein, das ist aber leider
> nicht mein Ergebnis [ohwell] Vielleich kamm mir
> irgendjemand weiterhelfen, hier ist mein Rechenweg:
>  
> Eine Lösung ist [mm]y_1(x)=Ax+B=x[/mm]


[ok]


>  
> [mm]y_1=x[/mm]   [mm]y_1'=1[/mm]   [mm]y_1''=0[/mm]
>  
> Multiplikationsansatz:
>  [mm]y=y_1*y_L=x*y_L[/mm]     [mm]y'=y_1'*y_L+y_1*y_L'=y_L+x*y'_L[/mm]    
> [mm]y''=y_1''*y_L+2*y_1'*y_L'+y_1*y_L''=2y_L'+x*y_L''[/mm]
>  
> Einsetzen:
>  [mm]x^2(2y_L'+x*y_L'')-2x(y_L+x*y'_L)+2(x*y_L)=0[/mm]
>  [mm]2x^2y_L'+x^3y_L''-2xy_L-2x^2y_L'+2xy_L=0[/mm]
>  [mm]x^3y_L''=0[/mm]
>  
> Reduktion der Ordnung durch [mm]y_L''=U[/mm]
>  [mm]x^3U=0 \gdw U=0[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}U dx = c_1[/mm]     [mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}c_1 dx = c_1 x + c_2[/mm]
>  
> Rücksubstitution [mm]y_L''=U[/mm]
>  [mm]y_L'=c_1[/mm]
>  [mm]y_L=c_1x+c_2[/mm]
>  
> allgemeine Lösung:
>  [mm]y_L=c_1x+c_2[/mm]
>  


Um die zweite Lösung zu erhalten,  musst Du
[mm]y_{L}[/mm] mit [mm]y_{1}=x[/mm] multiplizieren,


>
> Leider erhält man z.B. mit c2=5 das Ergebnis 10=0... Ich
> glaube, dass irgendwo ein Fehler im Ansatz sein
> muss[knirsch], denn ähnliche Fehler mache ich bei anderen
> Aufgaben auch. Bin für jeden Tipp Dankbar
>  


Gruss
MathePower  
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de