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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Reduktion der Ordnung DGL
Reduktion der Ordnung DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Reduktion der Ordnung DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 So 15.06.2008
Autor: chrisi99

Aufgabe
Reduziere die Ordnung der DGL durch erraten einer Lösung und gib dann die allg Lösung an

(1-x)y"+xy'-y=0

Kann mir hier mal jemand helfen :)

ich habe noch nicht allzuviel Erfahrung mit DGL (wie man in anderen Themen von mir sicher erkennen kann ;) und tu mir daher auch schwer damit, hier eine Lösung zu erraten..

kann man hier "halbwegs systematisch" vorgehen`? Wie reduziere ich die Ordnung bei Kenntnis einer Lösung?

Lg

        
Bezug
Reduktion der Ordnung DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 So 15.06.2008
Autor: Martinius

Hallo,

> Reduziere die Ordnung der DGL durch erraten einer Lösung
> und gib dann die allg Lösung an
>  
> (1-x)y"+xy'-y=0
>  Kann mir hier mal jemand helfen :)
>  
> ich habe noch nicht allzuviel Erfahrung mit DGL (wie man in
> anderen Themen von mir sicher erkennen kann ;) und tu mir
> daher auch schwer damit, hier eine Lösung zu erraten..


Eine nahe liegende Lösung wäre z. B. [mm] y_1=x [/mm] .
  

> kann man hier "halbwegs systematisch" vorgehen'? Wie
> reduziere ich die Ordnung bei Kenntnis einer Lösung?
>  
> Lg


ich habe das auch eben zum ersten mal nachgeschlagen:

[]http://phong.informatik.uni-leipzig.de/~kuska/mathmeth/lecture2.pdf


$y=x*u(x)$

$y'=u(x)+x*u'(x)$

$y''=2u'(x)+x*u''(x)$

Das jetzt in die DGL einsetzen:

$(1-x)*(2u'(x)+x*u''(x))+x*(u(x)+x*u'(x))-x*u(x)=0$

[mm] $(x-x^2)*u''(x)+(x^2-2x+2)*u'(x) [/mm] =0$

Die Ordnung dieser DGL ist nun um 1 reduziert.


LG, Martinius



Bezug
                
Bezug
Reduktion der Ordnung DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 So 15.06.2008
Autor: chrisi99

Aber die DGL hat ja noch immer 2. Ordnung ;)

verstehe ich jetzt nicht ganz! Kann man die neue Gleichung wirklich leichter lösen?

lg

Bezug
                        
Bezug
Reduktion der Ordnung DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 So 15.06.2008
Autor: Martinius

Hallo,

vielleicht kann man substituieren:

u'(x) = z(x) und u''(x)=z'(x).

Das z(x) lässt sich dann noch durch Separation der Variablen bestimmen. Aber die Resubstitution (Integration) wird dann unschön.

Da ich hier nicht weiter weiß, lasse ich auf halbbeantwortet.


LG, Martinius

Bezug
                        
Bezug
Reduktion der Ordnung DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:39 Mo 16.06.2008
Autor: leduart

Hallo
martinius hat recht, du hast wirklich ne DGL von einem Grad niedriger allerdings nicht für u sondern für u'=z
die ist direkt zu löseen, u dann das Integral davon.
Einen anderen Weg seh ich auch nicht.
ich glaub, es wird einfacher wenn die "geratene Lösung " [mm] y=e^x [/mm] ist.
Dann ist die entstehende Dgl für u' einfacher,aber das musst du ausprobieren!
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Reduktion der Ordnung DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:29 Mo 16.06.2008
Autor: Martinius

Hallo,

mit der von leduart vorgeschlagenen ("geratenen") Lösung [mm] y_1=e^x [/mm] funktioniert die Reduktion der Ordnung der DGL:


$(1-x)*y''+x*y'-y=0$

[mm] $y_1=e^x$ [/mm]

[mm] $y=e^x*u(x)$ [/mm]

[mm] $y'=e^x*(u(x)+u'(x))$ [/mm]

[mm] $y''=e^x*(u(x)+2u'(x)+u''(x))$ [/mm]

Einsetzen in die DGL:

[mm] $(u+2u'+u''-xu-2xu'-xu''+xu+xu'-u))*e^x=0$ [/mm]

$(-x+1)u''+(-x+2)u'=0$

$(-x+1)z'+(-x+2)z=0$

[mm] $\integral \bruch{1}{z}\;dz=\integral \bruch{x-2}{-x+1}\;dx$ [/mm]

[mm] $\integral \bruch{1}{z}\;dz=-1+\integral \bruch{1}{x-1}\;dx$ [/mm]


[mm] $ln|z|=-x+ln|x-1|+ln|C_1'|$ [/mm]

[mm] $z=C_1'*e^{-x}*(x-1)$ [/mm]

[mm] $u=C_1'*\integral xe^{-x}-e^{-x}\;dx$ [/mm]

[mm] $u=C_1'*(-xe^{-x}+\integral e^{-x}\;dx-\integral e^{-x}\;dx)$ [/mm]

[mm] $u(x)=-C_1'x*e^{-x}+C_2$ [/mm]

Nun nimmt man die Ausgangsgleichung her:

[mm] $y=e^x*u(x)$ [/mm]

[mm] $y=C_1*x+C_2*e^x$ [/mm]



LG, Martinius



Bezug
                                        
Bezug
Reduktion der Ordnung DGL: 2. Lösungsmöglichkeit
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:09 Mo 16.06.2008
Autor: Martinius

Hallo,

die andere Möglichkeit funktioniert genauso; ich hatte mich gestern nur verrechnet.

$(1-x)y''+x*y'-y=0$

[mm] $y_1=x$ [/mm]

$y=x*u(x)$

$y'=u(x)+x*u'(x)$

$y''=2u'(x)+x*u''(x)$

Das jetzt in die DGL einsetzen:

$(1-x)*(2u'(x)+x*u''(x))+x*(u(x)+x*u'(x))-x*u(x)=0$

[mm] $(x-x^2)*u''(x)+(x^2-2x+2)*u'(x) [/mm] =0$

[mm] $(x-x^2)*z'+(x^2-2x+2)*z [/mm] =0$

[mm] $\integral \bruch{1}{z}\;dz=\integral \bruch{-x^2+2x-2}{-x^2+x}\;dx$ [/mm]

[mm] $\integral \bruch{1}{z}\;dz=\integral 1-\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2-x}\;dx$ [/mm]

[mm] $ln(z)=x-2ln|x|+ln|x-1|+ln|C_1|$ [/mm]

[mm] $z=C_1*e^{x}*\bruch{x-1}{x^2}$ [/mm]

[mm] $u=C_1*\integral e^{x}*\bruch{x-1}{x^2} \;dx$ [/mm]

[mm] $u=C_1*\bruch{e^x}{x}+C_2$ [/mm]

$y=x*u(x)$

[mm] $y=C_1*e^x+C_2*x$ [/mm]


LG, Martinius




Bezug
                                                
Bezug
Reduktion der Ordnung DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Mo 16.06.2008
Autor: chrisi99

danke für eure Hilfe! Konnte alle Bsp dieser Art lösen :)

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