Reelle Fourierreihe < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 So 07.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | f(x) = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } 0<=x<\pi \\ 0, & \mbox{für } \pi <= x <= 2\pi \end{cases}
[/mm]
Bestimme die reelle Fourierreihe |
[mm] a_k [/mm] = [mm] 1/\pi \int_0^{2\pi} [/mm] f(x) cos(kx) dx
= [mm] 1/\pi \int_0^\pi [/mm] x cos (kx) dx [mm] =1/\pi [/mm] ( x [mm] \frac{sin(kx)}{k} [/mm] - [mm] \int_0^\pi \frac{sin(kx)}{k} [/mm] dx )= [mm] 1/\pi (\frac{cos(kx)}{k^2} [/mm] )= [mm] 1/\pi (\frac{(-1)^k -1}{k^2}) [/mm] = 0 für k gerade und [mm] 1/\pi \frac{2}{k^2} [/mm] für k ungerade.
[mm] b_k [/mm] = [mm] 1/\pi \int_0^{2\pi} [/mm] f(x) sin(kx) dx
[mm] 1/\pi \int_0^\pi [/mm] x sin (kx) dx = [mm] \frac{(-1)^{k+1}}{k}
[/mm]
[mm] p_n [/mm] (x) = [mm] a_0/2 [/mm] + 2 [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{(cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^\infty \frac{sin(kx)(-1)^{k+1}}{k}
[/mm]
[mm] a_0 [/mm] = [mm] 1/\pi \int_0^\pi [/mm] x = [mm] \pi [/mm] /2
[mm] a_0/2 [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
Stimmt das soweit?
Mfg LU
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Hallo Lu-,
> f(x) = [mm]\begin{cases} x, & \mbox{für } 0<=x<\pi \\ 0, & \mbox{für } \pi <= x <= 2\pi \end{cases}[/mm]
>
> Bestimme die reelle Fourierreihe
> [mm]a_k[/mm] = [mm]1/\pi \int_0^{2\pi}[/mm] f(x) cos(kx) dx
> = [mm]1/\pi \int_0^\pi[/mm] x cos (kx) dx [mm]=1/\pi[/mm] ( x
> [mm]\frac{sin(kx)}{k}[/mm] - [mm]\int_0^\pi \frac{sin(kx)}{k}[/mm] dx )=
> [mm]1/\pi (\frac{cos(kx)}{k^2}[/mm] )= [mm]1/\pi (\frac{(-1)^k -1}{k^2})[/mm]
> = 0 für k gerade und [mm]1/\pi \frac{2}{k^2}[/mm] für k ungerade.
>
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]a_{k}=\left\{\begin{matrix} 0, & k \ \operatorname{gerade} \\ \blue{-}\bruch{2}{\pi*k^{2}}, & k \ \operatorname{ungerade} \end{matrix}\right[/mm]
> [mm]b_k[/mm] = [mm]1/\pi \int_0^{2\pi}[/mm] f(x) sin(kx) dx
> [mm]1/\pi \int_0^\pi[/mm] x sin (kx) dx = [mm]\frac{(-1)^{k+1}}{k}[/mm]
>
> [mm]p_n[/mm] (x) = [mm]a_0/2[/mm] + 2 [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2}[/mm]
> + [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{sin(kx)(-1)^{k+1}}{k}[/mm]
>
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]1/\pi \int_0^\pi[/mm] x = [mm]\pi[/mm] /2
> [mm]a_0/2[/mm] = [mm]\pi[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das soweit?
> Mfg LU
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 07.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke für das Überprüfen.
Ich hätte noch eine Frage: Ein kollege meinte mal, dass man [mm] a_0 [/mm] oder [mm] a_0/2 [/mm] aus den Graphen der Funktion ablesen kann.. Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 So 07.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ku,
der Term [mm] a_0 [/mm] beschreibt ja den Gleichanteil der Reihenentwicklung und der ist nicht unbedingt aus dem Graphen ablesbar. Klar, wenn ich weiß, dass die zu entwickelnde Funktion aus einer Summe von Sinusschwingungen beispielsweise besteht, dann kann man sagen, dass [mm] a_0 = 0 [/mm] sein muss, aber eine allgemeine Methodik zum Ablesen gibt es eigentlich nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 07.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
ich heiße Lu ;)
> Term $ [mm] a_0 [/mm] $ beschreibt ja den Gleichanteil der Reihenentwicklung
ich verstehe den Ausdruck: "Gleichanteil der Reihenentwicklung" nicht
Was heißt das ?
Mfg Lu,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 07.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Lu,
sorry für den Vertipper. Das "L" war gemeint.
Den Begriff habe ich als Nachrichtentechniker einfach genutzt, ohne weiter darüber nachzudenken.
Den Term [mm] a_0 [/mm] bekommst Du doch durch eine Integration über die Funktion in den Grenzen des Intervalls, in dem Du die Funktion als Fourierreihe darstellen willst. Die anderen Terme geben den Koeffizienten einer Sinus- oder Cosinusschwingung an. Zu der Reihe von a-Koefizienten gehört die Cosinusschwingung und für den Term [mm] a_0 [/mm] ist die dazugehörige Grundschwingung ein Cosinus mit einer Frequenz von 0 Hertz. Solch eine Größe nennt man in der Nachrichtentechnik einen Gleichanteil. Das ist das ganze Geheimnis des Ausdrucks  .
Wenn Du übrigens die Funktion gegeben hast und erkennst, dass ihre Werte in Bezug auf die Mitte des Entwicklungsintervalls unsymmetrisch sind, also das was man eine ungerade Funktion nennt, dann heben sich durch die Integration die negativen und die positiven Werte des Integrals gerade auf. In solch einem Fall ist dann wirklich [mm] a_0 = 0 [/mm]. Ich würde mir allerdings nicht unbedingt zutrauen, dies nur aus dem Graphen der Funktion zu erkennen.
Viele Grüße,
Infinit
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