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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für a,b [mm] \in \IR [/mm] mit b − a > 1 ein z [mm] \in \IZ [/mm] existiert, so dass gilt:
a < z < b |
Mir ist klar, dass dies gilt, aber ich krieg den beweis nicht hin. Umformen,direkter Beweis oder Widerspruchsbeweis hat mich alles nicht weiter gebracht. Kann mir jemand eine Idee, Tipps oder einen Anstatz geben? Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass für a,b [mm]\in \IR[/mm] mit b − a > 1 ein z
> [mm]\in \IZ[/mm] existiert, so dass gilt:
> a < z < b
> Mir ist klar, dass dies gilt, aber ich krieg den beweis
> nicht hin. Umformen,direkter Beweis oder Widerspruchsbeweis
> hat mich alles nicht weiter gebracht. Kann mir jemand eine
> Idee, Tipps oder einen Anstatz geben? Danke
ja, definiere Dir
[mm] $z:=\max\{g \in \IZ:\;\; g \;\;\le\;\; a+1\}$ ($=\lfloor a+1\rfloor=\lfloor a\rfloor [/mm] +1$)
Insbesondere ist die Existenz von [mm] $z\,$ [/mm] zu begründen (d.h. es muss begründet
werden, dass [mm] $\{g \in \IZ:\;\; g \;\;\le\;\; a+1\}$ [/mm] überhaupt ein Maximum hat).
Zeige dann, dass [mm] $z\,$ [/mm] das Gewünschte leistet.
P.S. Die Aufgabe habe ich vor kurzem
hier (klick!)
gesehen und mitbearbeitet - das ist nicht alles identisch, aber alles
Wesentliche kann man herausfiltern...!
P.P.S. Wenn Du magst, damit das nicht alles fast komplett identisch ist:
Du kannst auch
[mm] $z:=\max\{g \in \IZ:\;\; g \;\;<\;\; b\}$
[/mm]
betrachten... (das kann man mit der Gaußklammer dann nicht mehr ganz so
schön schreiben - es geht aber:
[mm] $-\;\lfloor [/mm] -b+1 [mm] \rfloor$
[/mm]
könnte funktionieren. Ich teste es nur mal, den Beweis kannst Du dann ja
selbst probieren:
Für etwa [mm] $b=3\,$ [/mm] wäre [mm] $z=2\,,$ [/mm] und es wäre
[mm] $-\;\lfloor [/mm] -b+1 [mm] \rfloor\;=\;-\;\lfloor [/mm] -3+1 [mm] \rfloor\;=\;-(-2)\;=\;2\;=\;z\,.$
[/mm]
Für etwa [mm] $b=3,4\,$ [/mm] wäre [mm] $z=3\,,$ [/mm] und hier wäre
[mm] $-\;\lfloor [/mm] -b+1 [mm] \rfloor\;=\;-\;\lfloor [/mm] -3,4+1 [mm] \rfloor\;=\;-(-3)\;=\;3\;=\;z\,.$
[/mm]
Für etwa [mm] $b=-1\,\,$ [/mm] wäre [mm] $z=-2\,,$ [/mm] und hier wäre
[mm] $-\;\lfloor [/mm] -b+1 [mm] \rfloor\;=\;-\;\lfloor [/mm] -(-1)+1 [mm] \rfloor\;=\;-2\;=\;z\,.$
[/mm]
Für etwa [mm] $b=-4,5\,\,$ [/mm] wäre [mm] $z=-5\,,$ [/mm] und hier wäre
[mm] $-\;\lfloor [/mm] -b+1 [mm] \rfloor\;=\;-\;\lfloor [/mm] -(-4,5)+1 [mm] \rfloor\;=\;-\;\lfloor 5,5\rfloor\;=\;-5\;=\;z\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Sei [mm] z:=\max\{g \in \IZ:\;\; g \;\;\le\;\; a+1\}
[/mm]
{g [mm] \in \IZ:\;\; [/mm] g [mm] \;\;\le\;\; a+1\} [/mm] ist nach oben beschränkt mit Supremum [mm] \lfloor a+1\rfloor \in \IZ. [/mm] Daraus folgt [mm] \lfloor a+1\rfloor [/mm] ist das Maximum.
Dann ist z = [mm] \lfloor a+1\rfloor [/mm] = [mm] \lfloor a\rfloor [/mm] + 1 > a (Ich glaube da fehlt was)
Und aus der Voraussetzung folgt: b > a+1 [mm] \ge \lfloor a+1\rfloor [/mm] = z
Ingesamt also a < z < b
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Fr 15.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]z:=\max\{g \in \IZ:\;\; g \;\;\le\;\; a+1\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> {g [mm]\in \IZ:\;\;[/mm]
> g [mm]%5C%3B%5C%3B%5Cle%5C%3B%5C%3B%20a%2B1%5C%7D[/mm] ist nach oben beschränkt mit Supremum
> [mm]\lfloor a+1\rfloor \in \IZ.[/mm] Daraus folgt [mm]\lfloor a+1\rfloor[/mm]
> ist das Maximum.
>
> Dann ist z = [mm]\lfloor a+1\rfloor[/mm] = [mm]\lfloor a\rfloor[/mm] + 1 > a
> (Ich glaube da fehlt was)
>
> Und aus der Voraussetzung folgt: b > a+1 [mm]\ge \lfloor a+1\rfloor[/mm]
> = z
> Ingesamt also a < z < b
Das musst du schon etwas mehr begründen.
Schau aber auch mal unter dieser Diskussion, dort findest du dieselbe Frage.
Marius
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Trotzdem Danke, dass
