Regel von de l´Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne die Grenzwerte mit der Regel von l´Hospital!
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}-2}{1-cos(x)} [/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-cos\bruch{\pi}{2}}{1-cos(x)} [/mm]
c) [mm] \lim_{x\rightarrow\infty}xln(1+\bruch{1}{x})
[/mm]
d) [mm] \lim_{x\rightarrow\x1}lnx*ln(1-x)
[/mm]
(hierbei ist ein kleiner Pfeil nach oben bei x->1 also nicht wie bei den anderen Aufgaben waagerecht)
e) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}(\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)})*x^{-2} [/mm] |
Soo...ich brauche bei den Aufgaben eure Hilfe, sonst wird das sicher nichts.
Also die Regel von l´Hospital besagt ja:
Den Grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] lässt sich bestimmen, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0} [/mm] f(x)=0 und [mm] limes_{x\rightarrow\ x_0}g(x)=0
[/mm]
Es gilt dann weiter [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f´(x)}{g´(x)} [/mm] falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
So, also wäre das bei a)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}-2}{1-cos(x)} [/mm]
[mm] f(x):=e^x+e^{-x}-2 [/mm]
g(x):=1-cos(x)
Der Grenzwert der beiden Funktionen muss gegen 0 streben. Man sieht schon, dass f(x) und g(x) gegen Null gehen
Wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}}{sin(x)} [/mm] gegen 0 konvergiert, dann konvergiert auch [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}}{sin(x)}.
[/mm]
reicht das so das zu zeigen? Wie mache ich das bei c,d,e? ich habe zwar f(x) und g(x) aber keinen Bruch??
Und was ist, wenn x gegen [mm] \infty [/mm] oder 1 geht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mi 27.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechne die Grenzwerte mit der Regel von l´Hospital!
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-cos\bruch{\pi}{2}}{1-cos(x)}[/mm]
>
> c) [mm]\lim_{x\rightarrow\infty}xln(1+\bruch{1}{x})[/mm]
>
> d) [mm]\lim_{x\rightarrow\x1}lnx*ln(1-x)[/mm]
> (hierbei ist ein kleiner Pfeil nach oben bei x->1 also
> nicht wie bei den anderen Aufgaben waagerecht)
>
> e) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}(\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)})*x^{-2}[/mm]
>
> Soo...ich brauche bei den Aufgaben eure Hilfe, sonst wird
> das sicher nichts.
>
> Also die Regel von l´Hospital besagt ja:
>
> Den Grenzwert von [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
> lässt sich bestimmen, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}[/mm]
> f(x)=0 und [mm]limes_{x\rightarrow\ x_0}g(x)=0[/mm]
Nicht nur. Lies dir das hier dazu mal durch.
>
> Es gilt dann weiter [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f´(x)}{g´(x)}[/mm] falls
> der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
>
>
> So, also wäre das bei a)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}-2}{1-cos(x)}[/mm]
> [mm]f(x):=e^x+e^{-x}-2[/mm]
> g(x):=1-cos(x)
>
> Der Grenzwert der beiden Funktionen muss gegen 0 streben.
> Man sieht schon, dass f(x) und g(x) gegen Null gehen
>
> Wenn [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}}{sin(x)}[/mm]
> gegen 0 konvergiert, dann konvergiert auch
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}}{sin(x)}.[/mm]
Sicherlich. Aber was soll dieser Satz.
Berechne f'(x) und g'(x).
>
>
> reicht das so das zu zeigen? Wie mache ich das bei c,d,e?
> ich habe zwar f(x) und g(x) aber keinen Bruch??
Wieso?
Aufgabe b)
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)}{1-\cos(x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{0}{\sin(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{1}
[/mm]
Aufgabe c)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}xln(1+\bruch{1}{x})
[/mm]
Mit  Logarithmusgesetzen umformen zu
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)^{x}
[/mm]
Du kannst den [mm] \ln [/mm] und den [mm] \limes [/mm] hier vertauschen, die Voraussetzungen dafür sind beim [mm] \ln [/mm] erfüllt.
Also:
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)^{x}
[/mm]
[mm] =\ln\left(\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{x}\right)^{x}\right)
[/mm]
Der Grenzwert im Argument des [mm] \ln [/mm] sollte dir bekannt sein.
Aufgabe e)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}(\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)})\cdot{}x^{-2}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)}}{x^{2}}
[/mm]
>
> Und was ist, wenn x gegen [mm]\infty[/mm] oder 1 geht?
Das ist egal, wie du im Link nachlesen kannst.
>
>
>
Marius
|
|
|
| |
|
okay danke, die Fallunterscheidung habe ich vergessen.
ich habe [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}-2}{1-cos(x)}= \bruch{0}{0}
[/mm]
Limes der Ableitung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x-e^{-x}}{sin(x)}= \bruch{2}{0}
[/mm]
Aber was ist, wenn wieder ein unbestimmter Ausdruck vorhanden ist?. Muss ich jetzt nochmal ableiten oder wie gehts jetzt weiter? DAS habe ich nämlich noch nicht so ganz verstanden. Also f"(x) und g"(x) bilden und mit f(x) und g(x) gleichsetzen??
|
|
|
| |
|
> okay danke, die Fallunterscheidung habe ich vergessen.
>
> ich habe [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x+e^{-x}-2}{1-cos(x)}= \bruch{\infty}{\infty}[/mm]
>
> Limes der Ableitung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{e^x-e^{-x}}{sin(x)}= \bruch{\infty}{\infty}[/mm]
>
> also ist wieder ein unbestimmter Ausdruck vorhanden. Muss
> ich jetzt nochmal ableiten oder wie gehts jetzt weiter? DAS
> habe ich nämlich noch nicht so ganz verstanden. Also f"(x)
> und g"(x) bilden und mit f(x) und g(x) gleichsetzen??
ja nochmal ableiten, denn im nächsten schritt hättest du dann im nenner nen cos(x) der dann mit x->0 1 wird, dann hast du ja schon gewonnen
edit: zitat wiki:
Die Regel von L’Hospital besagt dann, dass [mm] \lim_{x\to x_0}\tfrac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x\to x_0}\tfrac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] gilt, falls der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. f' und g' bezeichnen dabei die ersten Ableitungen der Funktionen f und g.
Die rechte Seite dieser Gleichung lässt sich häufig einfach berechnen. Führt auch sie wieder auf einen unbestimmten Ausdruck, so kann man darauf erneut die Regel von L’Hospital anwenden, was möglicherweise in endlich vielen Schritten zum Ziel führt. Starres Festhalten an der Regel von L’Hospital kann aber auch zu längeren und schwierigeren Rechnungen führen.
gruß tee
|
|
|
| |
|
>
> Wieso?
> Aufgabe b)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)}{1-\cos(x)}[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{0}{\sin(x)}[/mm]
> [mm]=\bruch{0}{1}[/mm]
wieso ist sin(0)= 1?? ist das nicht auch 0 und ich muss nochmal ableiten??
|
|
|
| |
|
Hallo Mathegirl,
>
> >
> > Wieso?
> > Aufgabe b)
> >
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)}{1-\cos(x)}[/mm]
> > [mm]=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{0}{\sin(x)}[/mm]
> > [mm]=\bruch{0}{1}[/mm]
>
> wieso ist sin(0)= 1?? ist das nicht auch 0 und ich muss
> nochmal ableiten??
Ja, da hast du gut aufgepasst, das war wohl ein Versehen.
Aber schaue dir doch mal den Ausdruck [mm] $\frac{0}{\sin(x)}$ [/mm] vor dem Grenzübergang an, der ist doch schon 0 (für [mm] $|x|<\pi, x\neq [/mm] 0$, also x hinreichend nahe an 0), also auch [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{0}{\sin(x)}=\lim\limits_{x\to 0}0=0$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
>
> >
> > Wieso?
> > Aufgabe b)
> >
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-\cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)}{1-\cos(x)}[/mm]
> > [mm]=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{0}{\sin(x)}[/mm]
> > [mm]=\bruch{0}{1}[/mm]
>
mh.. [mm] cos(\pi/2)=0
[/mm]
somit [mm] \limes_{x\rightarrow0}\frac{1}{1-\cos(x)}
[/mm]
und da kann ich doch kein de L'hopital anwenden?!
oder aufgabe falsch abgeschrieben?
> wieso ist sin(0)= 1?? ist das nicht auch 0 und ich muss
> nochmal ableiten??
gruß tee
|
|
|
| |
|
Hallo tee,
hast recht, das habe ich mal wieder nicht genau gelesen ...
Tut mir leid, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Wieso kann ich den satz von l`Hospital nicht anwenden? Kann mir das einer nochmal erklären? bzw. wie war das mit den Grenzen gemeint?
Einen schreibfehler habe ich hoffentlich nicht hier reingebracht.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2}}{1-cos(x)}
[/mm]
nach 2mal ableiten habe ich raus [mm] \bruch{0}{-1}, [/mm] also 0 als grenzwert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wieso kann ich den satz von l'Hospital nicht anwenden? Kann
> mir das einer nochmal erklären? bzw. wie war das mit den
> Grenzen gemeint?
>
> Einen schreibfehler habe ich hoffentlich nicht hier
> reingebracht.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2}}{1-cos(x)}[/mm]
>
> nach 2mal ableiten habe ich raus [mm]\bruch{0}{-1},[/mm] also 0 als
> grenzwert
Es ist [mm] \bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2})}{1-cos(x)}= [/mm] 0 für jedes x mit cos(x) [mm] \not=0, [/mm] denn [mm] cos(\bruch{\pi}{2})= [/mm] 0.
Natürlich kannst Du l'Hospital anwenden, aber das ist hier doch völlig überdimensioniert !
Edit: vergesst, was ich da geschrieben habe, es ist kompletter Unfug !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fencheltee |
> > Wieso kann ich den satz von l'Hospital nicht anwenden? Kann
> > mir das einer nochmal erklären? bzw. wie war das mit den
> > Grenzen gemeint?
> >
> > Einen schreibfehler habe ich hoffentlich nicht hier
> > reingebracht.
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2}}{1-cos(x)}[/mm]
>
> >
> > nach 2mal ableiten habe ich raus [mm]\bruch{0}{-1},[/mm] also 0 als
> > grenzwert
>
> Es ist [mm]\bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2})}{1-cos(x)}=[/mm] 0 für
> jedes x mit cos(x) [mm]\not=0,[/mm] denn [mm]cos(\bruch{\pi}{2})=[/mm] 0.
das kann ich nicht ganz nachvollziehen
>
> Natürlich kannst Du l'Hospital anwenden, aber das ist hier
> doch völlig überdimensioniert !
aber die vorraussetzung für de l'hopital (unbestimmter ausdruck 0/0 bzw [mm] \infty/\infty) [/mm] liegt doch gar nicht vor.. oder überseh ich was?
>
> FRED
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Wieso kann ich den satz von l'Hospital nicht anwenden? Kann
> > > mir das einer nochmal erklären? bzw. wie war das mit den
> > > Grenzen gemeint?
> > >
> > > Einen schreibfehler habe ich hoffentlich nicht hier
> > > reingebracht.
> > >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2}}{1-cos(x)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > nach 2mal ableiten habe ich raus [mm]\bruch{0}{-1},[/mm] also 0 als
> > > grenzwert
> >
> > Es ist [mm]\bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2})}{1-cos(x)}=[/mm] 0 für
> > jedes x mit cos(x) [mm]\not=0,[/mm] denn [mm]cos(\bruch{\pi}{2})=[/mm] 0.
> das kann ich nicht ganz nachvollziehen
> >
> > Natürlich kannst Du l'Hospital anwenden, aber das ist hier
> > doch völlig überdimensioniert !
> aber die vorraussetzung für de l'hopital (unbestimmter
> ausdruck 0/0 bzw [mm]\infty/\infty)[/mm] liegt doch gar nicht vor..
> oder überseh ich was?
Du hast recht. Ich hab nicht richtig hingesehen !
FRED
> >
> > FRED
>
> gruß tee
|
|
|
| |
|
Aber warum liegt die Bedingung denn nicht vor? Ich verstehe das nicht!!
[mm] 1-cos(\bruch{\pi}{2}) [/mm] hat den Grenzwert 0
1-cos(x) hat ebenfalls den grenzwert 0
Warum kann ich de l´Hospital dann nicht auch anwenden?? Ich verstehe das nicht"!
|
|
|
| |
|
> Aber warum liegt die Bedingung denn nicht vor? Ich verstehe
> das nicht!!
>
> [mm]1-cos(\bruch{\pi}{2})[/mm] hat den Grenzwert 0
der cosinus von [mm] \pi/2 [/mm] ist aber 0! somit 1-0=1
>
> 1-cos(x) hat ebenfalls den grenzwert 0
>
> Warum kann ich de l´Hospital dann nicht auch anwenden??
> Ich verstehe das nicht"!
gruß tee
|
|
|
| |
|
Ich weiß nicht wo jetzt mein fehler liegt, aber wenn ich den cosinus von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] berechne komme ich auf 0.999 und das ist fast 1
oder stehe ich gerade irgendwie auf der leitung???
|
|
|
| |
|
Hallo mathegirl,
wahrscheinlich hast du grade die falsche Winkeleinstellung (DEG) in deinem Taschenrechner eingestellt:
Dann wäre [mm] \pi/2 [/mm] nämlich ungefähr 3.14°, das ist sehr nahe an 0°, wo der Cosinus tatsächlich 1 ist.
Bekanntlich ist [mm] \pi/2 [/mm] aber 90° ! Wenn du deinen Taschenrechner auf RAD umstellst und dann [mm] \pi/2 [/mm] eingibst, erledigt der TR für dich diese Denkarbeit.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank! Das hab ich natürlich nicht beachtet mit dem DEG....da kann ich lange grübeln :-D
|
|
|
| |
|
Frage nur, weil ich mittels l'Hospital den grenzwert bestimmen soll und nicht anders! Aber meine Rechnung ist doch trotzdem deswegen nicht "falsch", die ich vor deiner Antwort beschrieben habe oder?
so...kleine Zwischenfrage zur Ableitung der Aufgabe e)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{(\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)})}{x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{f´(x)}{g´(x)} [/mm] = [mm] -\bruch{\bruch{\wurzel{sin(ax)}}{2*\wurzel{cos(ax)}}+\bruch{\wurzel{sin(bx)}}{2*\wurzel{cos(bx)}}{2x}}
[/mm]
Ach mist...es soll "durch 2x" heißen und nicht mal....krieg das aber jetzt grad nicht hin
richtig so?
|
|
|
| |
|
> Frage nur, weil ich mittels l'Hospital den grenzwert
> bestimmen soll und nicht anders! Aber meine Rechnung ist
> doch trotzdem deswegen nicht "falsch", die ich vor deiner
> Antwort beschrieben habe oder?
doch.. weil es eine regel gibt, WANN ich L'hopital erst anwenden darf, und die wurde hier ja schon mehrmals runtergekaut..
man kann bei deiner aufgabe oben den grenzwert DIREKT bestimmen, also ist alles andere unnötig, wenn nicht sogar falsch
>
> so...kleine Zwischenfrage zur Ableitung der Aufgabe e)
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{(\wurzel{cos(ax)}-\wurzel{cos(bx)})}{x^2}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{f´(x)}{g´(x)}[/mm] =
> [mm]-\bruch{\bruch{\wurzel{sin(ax)}}{2*\wurzel{cos(ax)}}+\bruch{\wurzel{sin(bx)}}{2*\wurzel{cos(bx)}}{2x}}[/mm]
>
> Ach mist...es soll "durch 2x" heißen und nicht
> mal....krieg das aber jetzt grad nicht hin
>
>
>
> richtig so?
mit dem [mm] x^2 [/mm] im nenner keimt ja direkt der verdacht auf, dass man nach 2 mal de l'hopital zumindest nen "gesunden" nenner hat..
deine ableitungen im zähler sehen jedoch nicht gelungen aus:
[mm] $$\sqrt{cos\left( a\,x\right) }$$ [/mm] abgeleitet ergibt zum beispiel
[mm] $$-\frac{a\,sin\left( a\,x\right) }{2\,\sqrt{cos\left( a\,x\right) }}$$
[/mm]
gruß tee
|
|
|
| |
|
Das kann ja nicht stimmen, was du bei der Ableitung hast!
[mm] \wurzel{cos(ax)}= (cos(ax))^{\bruch{1}{2}} [/mm] und das mit kettenregel abgeleitet ergibt doch
[mm] \bruch{1}{2}(cos(ax))^{-\bruch{1}{2}}*(-a*sin(x))
[/mm]
okay, ich habe mich auch verreichnet wie ich grad sehen muss...
|
|
|
| |
|
> Das kann ja nicht stimmen, was du bei der Ableitung hast!
wieso kann das nicht stimmen?
unten zeigst du doch genau, dass du dasselbe herausbekommst, nur mit ner anderen darstellung der wurzel
>
>
> [mm]\wurzel{cos(ax)}= (cos(ax))^{\bruch{1}{2}}[/mm] und das mit
> kettenregel abgeleitet ergibt doch
>
> [mm]\bruch{1}{2}(cos(ax))^{-\bruch{1}{2}}*(-a*sin(x))[/mm]
>
> okay, ich habe mich auch verreichnet wie ich grad sehen
> muss...
gruß tee
|
|
|
| |
|
So..ich habe jetzt das zweite mal l'Hospital angewand und komme so langsam durcheinander.
[mm] \bruch{\bruch{(-a*sin(ax)*a*cos(ax)}{\wurzel{cos(ax)}}-a*cos(ax)*2*\wurzel{cos(ax)})+(\bruch{b*sin(bx)*b*cos(bx)}{\wurzel{cos(bx)}}+b*b*sin(bx)*2*\wurzel{cos(bx)}}{2}
[/mm]
so, das ist meine 2. Ableitung nach l´Hospital...stimmt das so in etwa???
und ich kriege raus als grenzwert [mm] \bruch{0}{2}, [/mm] also ist der Grenzwert 0!
|
|
|
| |
|
> So..ich habe jetzt das zweite mal l'Hospital angewand und
> komme so langsam durcheinander.
>
> [mm]\bruch{\bruch{(-a*sin(ax)*a*cos(ax)}{\wurzel{cos(ax)}}-a*cos(ax)*2*\wurzel{cos(ax)})+(\bruch{b*sin(bx)*b*cos(bx)}{\wurzel{cos(bx)}}+b*b*sin(bx)*2*\wurzel{cos(bx)}}{2}[/mm]
>
> so, das ist meine 2. Ableitung nach l´Hospital...stimmt
> das so in etwa???
>
> und ich kriege raus als grenzwert [mm]\bruch{0}{2},[/mm] also ist
> der Grenzwert 0!
hab grad leider keine zeit das ausführlich durchzuschauen, jedoch sagt mein programm, dass wenn man den zähler 2 mal ableitet und x=0 setzt, dass dann
[mm] $$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2}$$
[/mm]
herauskommt
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Also wäre dann [mm] \bruch{b^2-a^2}{2} [/mm] der Grenzwert...
Da muss ich nochmal nachrechnen, vielleicht hab ich nur was übersehen.
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
Hmm bei mir kürzt sich die 2 weg. Den ganzen Term mag ich nicht abtippen, aber bei der letzten Ableitung entsteht ein Doppelbruch bei dem ich in der "Mitte" 4cos(ax) bzw 4cos(bx) steht und unten natürlich 2 als Ableitugn von 2x. Naja und durch noch ner 2 im Zähler kürzt sich alles letztendlich auf b²-a²
Ist die Lösung von dir absolut richtig?
Dann mus ich mich wohl nochmal ransetzen -.-'
|
|
|
| |
|
Hallo Crashkurs und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hmm bei mir kürzt sich die 2 weg. Den ganzen Term mag ich
> nicht abtippen, aber bei der letzten Ableitung entsteht ein
> Doppelbruch bei dem ich in der "Mitte" 4cos(ax) bzw
> 4cos(bx) steht und unten natürlich 2 als Ableitugn von 2x.
> Naja und durch noch ner 2 im Zähler kürzt sich alles
> letztendlich auf b²-a² ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Ist die Lösung von dir absolut richtig?
> Dann mus ich mich wohl nochmal ransetzen -.-'
Beim Ableiten des Nenner ergibt sich eine 2, beim Ableiten des Zählers wegen der Wurzeln in beiden Brüchen ebenfalls eine 2.
In den Zählerbrüchen kannst du also mal [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ausklammern und mit der 2 aus der Nennerableitung zu [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] verwurschteln.
Es ergibt sich nach der ersten de l'Hôpital-Kur
[mm] $\frac{1}{4}\cdot{}\left(\frac{\frac{b\cdot{}\cos(bx)}{\sqrt{\cos(bx)}}-\frac{a\cdot{}\cos(ax)}{\sqrt{\cos(ax)}}}{x}\right)$
[/mm]
Das strebt für [mm] $x\to [/mm] 0$ wieder gegen [mm] $\frac{1}{4}\cdot{}\frac{0}{0}$
[/mm]
Nochmaliges Anwenden von de l'Hôpital erhält die [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] und liefert für den Klammerausdruck einen Term, der für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $b^2-a^2$ [/mm] strebt.
Insgesamt ergibt sich als GW also [mm] $\frac{b^2-a^2}{4}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
oh nein...bitte nicht nochmal alles abtippen, das ist sooo kompliziert hier! Ich komme allerdings irgendwie nicht auf die [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] das muss ich wohl alles nochmal nachrechnen.
wie meintest du das, aus dem Zähler eine 2 in den nenner "wurschteln" ??
Komplizierte und unüberischtliche Lösung.
Jedenfalls danke, dass ihr euch die Mühe macht und das durchseht bzw. "mitdenkt" 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mi 27.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wieso kann ich den satz von l'Hospital nicht anwenden? Kann
> mir das einer nochmal erklären? bzw. wie war das mit den
> Grenzen gemeint?
>
> Einen schreibfehler habe ich hoffentlich nicht hier
> reingebracht.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}\bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2}}{1-cos(x)}[/mm]
>
> nach 2mal ableiten habe ich raus [mm]\bruch{0}{-1},[/mm] also 0 als
> grenzwert
Jetzt eine "richtige" Antwort von mir:
[mm] \bruch{1-cos(\bruch{\pi}{2}}{1-cos(x)}
[/mm]
In obigem Bruch ist der Zähler konstant = 1 und der Nenner geht gegen 0 für x [mm] \to [/mm] 0
Jetzt schau Dir nochmal L'Hospital an, dann wirst Du sehen, dass er nicht anwendbar ist
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
ja okay stimmt. wenn dann müsste beides Null sein oder beides unendlich z.B.
|
|
|
| |
|
[mm] \limes_{x\rightarrow\1}lnx*ln(1-x)
[/mm]
allerdings steht hier x Pfeil nach oben 1, das kann ich hier leider nicht darstellen.
was genau bedeutet das? Und wie komme ich auf [mm] \bruch{f(x)}{g(x)}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo mathegirl,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}lnx*ln(1-x)[/mm]
>
> allerdings steht hier x Pfeil nach oben 1, das kann ich
> hier leider nicht darstellen.
>
> was genau bedeutet das? Und wie komme ich auf
> [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}?[/mm]
Wenn da x "Pfeil nach oben" 1 steht, dass x "von unten" gegen 1 geht, d.h. von "links" auf dem Zahlenstrahl betrachtet. Man betrachtet also nur Folgen von x, die von links an die 1 rangehen (alle x im Limes sind also kleiner als 1!).
Man kann statt dem Pfeil nach oben auch schreiben: [mm] \lim_{x\to 1-} [/mm] , dann weiß man auch, was gemeint ist.
Nur nochmal zum deutlich machen:
[mm] \lim_{x\to 0-}\frac{1}{x} [/mm] = [mm] -\infty,
[/mm]
[mm] \lim_{x\to 0+}\frac{1}{x} [/mm] = [mm] +\infty.
[/mm]
Oben in dem Limes muss man das übrigens mit [mm] \lim_{x\to 1-}\ln(x)*\ln(1-x) [/mm] schreiben, weil [mm] \ln(1-x) [/mm] ja nur für x < 1 definiert ist.
Zum Limes selbst: Du hast die Form [mm] 0*\infty, [/mm] die kannst du leicht durch Umformen wieder in die Form [mm] \frac{0}{0} [/mm] bringen:
[mm] $\lim_{x\to 1-}\ln(x)*\ln(1-x) [/mm] = [mm] \lim_{x\to 1-}\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\ln(1-x) }}$
[/mm]
Nun kannst du wieder ableiten. Nach dem ersten Ableiten solltest du auf jeden Fall den auftretenden Faktor [mm] \frac{1}{x} [/mm] aus der Limesbetrachtung herausziehen (das darfst du, weil [mm] \lim_{x\to 1-}\frac{1}{x} [/mm] = 1. Wenn also der restliche Limes existieren sollte, kannst du dann nach den Grenzwertsätzen diesen Schritt rechtfertigen).
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
okay, dann leite ich [mm] \bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{ln(1-x)}} [/mm] mal ab.
f´(x)= [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
g´(x)= [mm] \bruch{1}{(1-x)*(ln(1-x))^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{´x\rightarrow\ x-}\bruch{1}{x}}{\limes_{´x\rightarrow\ x-}\bruch{1}{(1-x)*(ln(1-x))^2}}= -\bruch{1}{2}
[/mm]
Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
> okay, dann leite ich
> [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{ln(1-x)}}[/mm] mal
> ab.
>
> f´(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> g´(x)= [mm]\bruch{1}{(1-x)*(ln(1-x))^2}[/mm]
Hallo,
die Ableitungen stimmen.
>
> [mm]\bruch{\limes_{´x\rightarrow\ x-}\bruch{1}{x}}{\limes_{´x\rightarrow\ x-}\bruch{1}{(1-x)*(ln(1-x))^2}}= -\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
>
Für [mm] \limes_{x\rightarrow\ \red{1}-}\bruch{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{(1-x)*(ln(1-x))^2}} [/mm] bekomme ich nicht Dein Ergebnis. Die 2 im Nenner stimmt doch nicht.
Es ist [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{(1-x)*(ln(1-x))^2}}=\bruch{(1-x)*(ln(1-x))^2}{x}, [/mm] und wenn man den Grenzwert zu berechnen versucht, bekommt man - oh Graus! - was?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
0 bekommt man raus als Grenzwert. Tut mir leid, ich habe mich verschrieben. Ich meinte 0 Als Grenzwert, wie ich auf sowas blödes mit der 2 im Nenner komme , das weiß ich auch nicht *lach*
|
|
|
| |
|
> 0 bekommt man raus als Grenzwert. Tut mir leid, ich habe
> mich verschrieben. Ich meinte 0 Als Grenzwert,
Hallo,
als Endergebnis ist das richtig - aber an der Stelle, an der Du warst, sieht man das noch nicht, oder?
> wie ich auf
> sowas blödes mit der 2 im Nenner komme , das weiß ich
> auch nicht *lach*
Und was hast Du jetzt im Nenner?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
also ich habe:
[mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\ 1-}(1-x)*(ln(1-x))^2}{\limes_{x\rightarrow\ 1-}x}= \bruch{0}{1}
[/mm]
oder reicht das noch nicht zu zeigen?
Man sieht ja, dass der erste Faktor 0 wird und dementsprechend ist der gesamte Zähler auch 0
|
|
|
| |
|
> also ich habe:
>
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow\ 1-}(1-x)*(ln(1-x))^2}{\limes_{x\rightarrow\ 1-}x}= \bruch{0}{1}[/mm]
>
> oder reicht das noch nicht zu zeigen?
> Man sieht ja, dass der erste Faktor 0 wird und
> dementsprechend ist der gesamte Zähler auch 0
Hallo,
das ist etwas kurzsichtig gedacht.
Denn was ist mit dem zweiten Faktor im Zähler? (Ich sagte ja: oh Graus...)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Du meinst sicher, das ln 0 nicht berechnet werden kann...hmmm...das ist natürlich ein Problem. Also hat bringt de l`hospital hierbei kein ergebnis. Gibt es keinen Grenzwert?
|
|
|
| |
|
> Du meinst sicher, das ln 0 nicht berechnet werden
> kann...hmmm...das ist natürlich ein Problem.
Hallo,
das Problem ist, daß wir im Zähler [mm] 0*\infty [/mm] haben.
Man könnte versuchen, hier nochmal schlau umzuformen, um dann mit l'Hospital ans Ziel zu kommen. Kann schon passieren, daß man den mehrfach anwenden muß, kann aber auch passieren, daß man mit L#Hospital scheitert.
> Also hat
> bringt de l'hospital hierbei kein Ergebnis.
S.o.
Andere Sache: Du hattest ln(x)*ln(x-1) umgeformt zu [mm] \bruch{ln(x)}{\bruch{1}{ln(x-1}}.
[/mm]
Man kann das aber auch mal genau umgekehrt versuchen - also nicht so schnell aufgeben.
(Klappt hier aber auch nur, wenn man ein zweites Mal hospitalisiert. Ich find's bequemer.)
> Gibt es keinen
> Grenzwert?
Doch, die 0.
Wenn l'Hospital nicht klappt, dann gibt es einen Grenzwert oder es gibt keinen. Man ist so schlau wie zuvor.
Hier gibt es einen. Und l'Hospital klappt - sofern ich mich nicht vertan habe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Okay, das stimmt und kann ich auch nachvollziehen. Aber ich verstehe nicht, was ich umformen kann, damit ich l`Hospital weiter anwenden kann.
also wieder zurück umformen zum ausgang?
oder einfach l´Hospital nochmal anwenden? das darf man doch aber nur, wenn wieder ein unbestimmter Ausdruck vorhanden ist, also Zähler und Nenner 0 oder unendlich
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. lies noch mal all die posts durch! steppenhahn hat dir schon gesagt, was du machen musst. wenn man [mm] 0*\infty [/mm] hat schreibt man um auf [mm] \bruch{o}{1/\infty}=\bruch{0}{0} [/mm] und dann wieder L'Hopital
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:47 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
also wenn ich habe:
[mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\ 1-}(1-x)(ln(1-x))^2}{\limes_{x\rightarrow\ 1-}x}= \bruch{0}{1}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1-x}{\bruch{1}{(ln(1-x))^2}}}{x}
[/mm]
hmm..ich weiß nicht warum das nur so klein dargestellt wird...aber meint ihr das so??
aber ich sehe in der Umformung gerade nicht den sinn...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte dich auf Steppenhahns post hingewiesen. Du kriegst wirklich viele posts, druck sie dir aus, oder schreib dir Ratschläge raus, und vorallem benutz sie auch. hab mehr Geduld und lies langsamer und gründlicher nochmal alles vor der nächsten Frage.Nicht nur wegen uns, sondern damit du was lernst, das tust du nur, wenn du nen moment - auch mal nen langen- über Antworten brütest!
Schon lange steht da, dass das 0 im Zähler so falsch ist. wieso ist ln(1-x) 0????
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ich weiß, ln(0) gibt es nicht, aber wie soll ich das schreiben? gibt es dementsprechend keinen Grenzwert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Do 28.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Was passiert denn mit der ln-Funktion nahe dem x-Wert von Null?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
wenn die werte für ln immer mehr gegen Null gegen, geht ln immer mehr gegen [mm] \infty [/mm] bei positiven Werten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Do 28.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Nein, das stimmt nicht. Betrachte den Funktionsgraphen genau!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
dann weiß ich es leider nicht...selbst wenn man von ganz kleinen Zahlen mit taschenrechner ln berechnet, dann gehen die Werte gegen [mm] -\infty
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 28.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> dann weiß ich es leider nicht...selbst wenn man von ganz
> kleinen Zahlen mit taschenrechner ln berechnet, dann gehen
> die Werte gegen [mm]-\infty[/mm]
Ach! Das ist ja wohl etwas anderes als [mm] $\infty$ [/mm] , wie Du es oben geschrieben hast.
Das fällt ganz eindeutig zu den Konzentrationsschwächen bzw. den überhasteten Postings, die leduart mehrfach angesprochen hat bei Dir.
Aber Tipps befolgen ist ja nicht ganz Deine Stärke ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Do 28.01.2010 | | Autor: | k4in |
[mm] \limes_{x\uparrow\1} \bruch{ln(1-x)}{\bruch{1}{ln(x)}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\uparrow\1} \bruch{x*ln^2(x)}{1-x}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\uparrow\1} \bruch{ln^2(x)+2*ln(x)}{-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{0}{-1} [/mm] = 0
Bekomme ich heraus mit 2x l'Hospital angewendet, ausgehend von [mm] \limes_{x\uparrow\1} [/mm] ln(x) * ln(1-x)
|
|
|
| |
|
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}xln(1+\bruch{1}{x})
[/mm]
Durch Umformen erhalte ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}ln(1+\bruch{1}{x})^x
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}ln(x+1)^x}{\limes_{x\rightarrow\infty}(x)^x}
[/mm]
[mm] \bruch{f´(x)}{g´(x)}= \bruch{(x)^{x-1}}{(x+1)^{x-1}} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}(x)^{x-1}}{\limes_{x\rightarrow\infty}(x+1)^{x-1}}=\bruch{\infty}{\infty} [/mm]
erneute Anwendung von l´Hospital:
[mm] \bruch{f"(x)}{g"(x)}= \bruch{(x-1)(x)^{x-2}}{(x-1)(x+1)^{x-2}}= \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
kann das sein, dass gar keine bestimmten Werte dabei rauskommen? das geht ja immer so weiter mit Unendlich....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
> Durch Umformen erhalte ich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}ln(1+\bruch{1}{x})^x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}ln(x+1)^x}{\limes_{x\rightarrow\infty}(x)^x}[/mm]
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie kommst Du auf diesen Term? Durch Zauberei?
Denn dies entspricht in keinster Weise irgendwelchen Äquivalenzumformungen o.ä.
> [mm]\bruch{f´(x)}{g´(x)}= \bruch{(x)^{x-1}}{(x+1)^{x-1}}[/mm]
Und diese vermeintlichen Ableitungen sind auch in keinster Weise nachvollziehbar, da absolut falsch.
Du kannst hier wie folgt umformen:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\infty}\ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[\limes_{x\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{x}\right)^x\right] [/mm] \ = \ [mm] \ln(e) [/mm] \ = \ 1$$
Ist nun de l'Hospital eine Vorgabe, geht es wie folgt:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\infty}x*\ln\left(1+\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(1+\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln\left(\bruch{x+1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln(x+1)-\ln(x)}{\bruch{1}{x}}$$
[/mm]
Nun de l'Hospital ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
hmmm..jetzt weiß ich selbst nicht mehr wie ich auf so nen Blödsinn gekommen bin :-D naja kein Wunder, das es nicht weiter ging ...
Danke für den Hinweis und alles weitere ist ja jetzt verständlich.
Gruß
Mathegirl
|
|
|
| |
|
[mm] \bruch{ln(x+1)-ln(x)}{\bruch{1}{x}}okay, [/mm] also gilt dann weiter:
f´(x)= [mm] -\bruch{x^2}{x^2+x} [/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}x^2}{\limes_{x\rightarrow\infty}x^2+x}= \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
f"(x)= [mm] -\bruch{2x}{2x+1}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow\infty}2x}{\limes_{x\rightarrow\infty}2x+1}= \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
[mm] f"´(x)=-\bruch{2}{2}
[/mm]
Der Grenzwert ist also -1!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
okay, ich habe es gerade selbst bemerkt...das - ist fehl am Platz und der Grenzwert ist 1. Die Schreibweise mit f´(x) ist natürlich falsch, das war ein Schludrigkeitsfehler von mir. sorry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Mal 'ne bescheidene Frage am Rande: Du bist bereits Mathelehrerin für die Sekundarstufe I (steht zumindest so in Deinem Profil)?
Gelinde gesagt: das versetzt mich in Erstaunen ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:30 Do 28.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Bei meinem Profil steht Student, wenn ich bereits Lehrer wäre, hätte ich sicher nicht solche Matheprobleme...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
> Bei meinem Profil steht Student,
Ja ... jetzt! ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
Gruß
Loddar
|
|
|
|
