Regelfläche von Hyperboloid < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Sa 29.01.2011 | | Autor: | conankun |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha(s)=(cos(s),sin(s)) [/mm] die Parametrisierung des Einheitskreises in der xy-Ebene und sei [mm] w(s)=\alpha'(s)+e_3, [/mm] wobei [mm] e_3 [/mm] der Einheitsvektor auf der z-Achse ist.
i) Zeigen Sie, dass die zu [mm] \alpha [/mm] und w entsprechende Regelfläche mit dem Hyperboloid [mm] x^2+y^2-z^2=1 [/mm] übereinstimmt.
ii) Welche Fläche erhalten wir, wenn wir [mm] w_1(s)=-\alpha'+e_3 [/mm] statt w nehmen? |
Also i) hab ich gezeigt, meine Frage sollte auch ganz kurz sein...
Bei i) erhalte ich ja für X(s,t) := [mm] \alpha(s) [/mm] + tw(s) = (cos(s) - tsin(s), sin(s)+tcos(s), t) die Parametrisierung eines Hyperboloids.
Wenn ich jetzt bei ii) [mm] -\alpha' [/mm] statt [mm] \alpha [/mm] nehme bekomme ich:
X(s,t) = (cos(s)+tsin(s), sin(s)-tcos(s),t)
Das erfüllt allerdings auch [mm] x^2+y^2-z^2=1 [/mm] (wenn ich mich nicht verrechne)
Meine Frage ist: Ist die Antwort bei ii), dass es auch die Regelfläche eines Hyperboloid ist?
Weil ich hätte eigentlich vermutet, dass bei so einer Aufgabenstellung eine andere Fläche am Ende rauskommt, das verwirrt mich nur grad ein bisschen.
Ich hoffe meine Frage ist klar, falls nicht, bitte nachfragen^^
[Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf keiner anderen Seite gestellt]
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> Sei [mm]\alpha(s)=(cos(s),sin(s))[/mm] die Parametrisierung des
> Einheitskreises in der xy-Ebene und sei
> [mm]w(s)=\alpha'(s)+e_3,[/mm] wobei [mm]e_3[/mm] der Einheitsvektor auf der
> z-Achse ist.
>
> i) Zeigen Sie, dass die zu [mm]\alpha[/mm] und w entsprechende
> Regelfläche mit dem Hyperboloid [mm]x^2+y^2-z^2=1[/mm]
> übereinstimmt.
>
> ii) Welche Fläche erhalten wir, wenn wir
> [mm]w_1(s)=-\alpha'+e_3[/mm] statt w nehmen?
> Also i) hab ich gezeigt, meine Frage sollte auch ganz kurz
> sein...
>
> Bei i) erhalte ich ja für X(s,t) := [mm]\alpha(s)[/mm] + tw(s) =
> (cos(s) - tsin(s), sin(s)+tcos(s), t) die Parametrisierung
> eines Hyperboloids.
>
> Wenn ich jetzt bei ii) [mm]-\alpha'[/mm] statt [mm]\alpha[/mm] nehme bekomme
> ich:
>
> X(s,t) = (cos(s)+tsin(s), sin(s)-tcos(s),t)
>
> Das erfüllt allerdings auch [mm]x^2+y^2-z^2=1[/mm] (wenn ich mich
> nicht verrechne)
>
> Meine Frage ist: Ist die Antwort bei ii), dass es auch die
> Regelfläche eines Hyperboloid ist?
>
> Weil ich hätte eigentlich vermutet, dass bei so einer
> Aufgabenstellung eine andere Fläche am Ende rauskommt, das
> verwirrt mich nur grad ein bisschen.
Hallo conankun,
nachgerechnet habe ich gar nichts. Ich kann dir aber ein
Modell anbieten, das zeigt, weshalb auf beide Arten
dieselbe Hyperboloidfläche herauskommt.
Schneide dir aus Karton zwei kreisrunde Scheiben
(Radius z.B. 7 cm). Markiere auf dem konzentrischen
Kreis mit 6.5 cm bei einer der Scheiben gleichmäßig
verteilt z.B. 18 Punkte. Lege die beiden Scheiben exakt
aufeinander und piekse mit einer Nadel bei jedem der
Punkte ein Loch durch beide Scheiben. Führe durch
jedes Loch einen Faden von z.B. 30 cm Länge, den du
zunächst am einen Ende verknotest, damit er nicht mehr
durchs Loch schlüpfen kann. Zieh dann die beiden Scheiben
auseinander, bis du eine Art zylindrische "Trommel"
hast. Wenn du nun die eine Pappscheibe um 90°
drehst, so deuten die Fäden das erste Hyperboloid an.
Wenn du die Scheibe aus der Ausgangslage in die
umgekehrte Richtung um 90° drehst, liegen zwar
die Fäden anders (des eine Mal von aussen betrachtet
alle nach rechts geneigt, das andere Mal nach links),
aber sie bilden insgesamt (zusammen mit den unendlich
vielen weiteren, die man sich vorstellen kann) die
genau gleiche Fläche wie im ersten Fall.
Das einschalige Rotationshyperboloid ist also gleich
auf zwei verschiedene (aber zueinander symmetrische)
Arten eine Regelfläche.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Sa 29.01.2011 | | Autor: | conankun |
Wow ... klasse, danke für die ausführliche Antwort =)
Hat mir sehr geholfen^^
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