Regelfunktion, Nullfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Ist f:[a,b] [mm] \to [0,\infty) [/mm] stetig und gilt [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = 0, so ist f die Nullfunktion.
Gilt dies auch für die Regelfunktion f:[a,b] [mm] \to [0,\infty) [/mm] ? |
In dem Fall, dass die Regelfunktion stetig ist, gilt es auf jeden Fall, das wäre ja die Vorraussetzung.
Also muss ich nur den Fall betrachten, dass f nicht stetig ist (?).
Meine Vorüberlegung ist, dass wenn es ein [mm] x_{0} \in [/mm] [a,b] gibt, mit [mm] f(x_{0}) [/mm] > 0, dann ist ja das Integral automatisch ungleich null, da der Wertebereich ausschließlich positiv ist. Also muss f immer auf die 0 abbilden.
Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehe. Die Definition der Regelfunktion hilft mir auch wenig weiter.
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Hallo,
> Ist f:[a,b] [mm]\to [0,\infty)[/mm] stetig und gilt
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = 0, so ist f die Nullfunktion.
>
> Gilt dies auch für die Regelfunktion f:[a,b] [mm]\to [0,\infty)[/mm]
> ?
> In dem Fall, dass die Regelfunktion stetig ist, gilt es
> auf jeden Fall, das wäre ja die Vorraussetzung.
> Also muss ich nur den Fall betrachten, dass f nicht stetig
> ist (?).
Dazu eine Frage: Besteht die Aufgabe nur aus der Frage (also dem zweiten Satz), oder sollst du auch den ersten beweisen?
Zum ersten Teil:
Die Sache ist: Wenn eine Funktion [mm] f:[a,b]\to[0,\infty) [/mm] stetig ist, und angenommen sie wäre nicht die Nullfunktion, dann gäbe es ein [mm] x_{0}\in[a,b] [/mm] mit [mm] f(x_{0}) [/mm] > 0.
Aufgrund der Stetigkeitseigenschaft von f gibt es dann auch eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von [mm] x_{0}, [/mm] also ein Intervall [mm] (x_{0}-\varepsilon,x_{0}+\varepsilon), [/mm] auf dem die Funktion größer als 0 ist.
Auf diesem Intervall wird das Integral dann aber größer als Null sein --> Dann wäre das Integral auch nicht 0.
> Meine Vorüberlegung ist, dass wenn es ein [mm]x_{0} \in[/mm] [a,b]
> gibt, mit [mm]f(x_{0})[/mm] > 0, dann ist ja das Integral
> automatisch ungleich null, da der Wertebereich
> ausschließlich positiv ist. Also muss f immer auf die 0
> abbilden.
>
> Ich habe leider keine Idee, wie ich an die Sache rangehe.
> Die Definition der Regelfunktion hilft mir auch wenig
> weiter.
Nun, eine Regelfunktion muss nicht stetig sein, sie kann Sprungstellen besitzen. Damit eine Funktion die Nullfunktion auf [a,b] ist, muss sie auf diesem Intervall aber immer den Wert 0 haben.
Nun nehmen wir uns zum Beispiel eine Regelfunktion f auf [0,1], und die hat bei 0.5 eine Sprungstelle, d.h.
f(x) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] außer x = 0.5
f(x) = 1 für x = 0.5
Dann ist die Funktion nicht die Nullfunktion, aber...
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 Di 02.02.2010 | | Autor: | Doemmi |
Vielen Dank, Stefan, für deine Antwort.
Den ersten Teil musste ich tatsächlich erst beweisen, aber das hatte ich schon geschaft, deswegen spielte das keine Rolle.
Zu deinem Beispiel einer Regelfunktion: Nur an einem Punkt ist die Funktion 1, sonst immer 0, also ist [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = 0, also die Nullfunktion.
Ich wüsste nicht, wie ich noch weiter argumentieren soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zu deinem Beispiel einer Regelfunktion: Nur an einem Punkt
> ist die Funktion 1, sonst immer 0, also ist
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = 0, also die Nullfunktion.
Nein, wenn die Funktion an einem Punkt nicht 0 ist, ist sie nicht die nullfunktion.
SEcki
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