Regelfunktion approximieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Funktion [mm] f:[-1,1]\to\IR [/mm] für [mm] x\in[-1,1] [/mm] definiert durch
[mm] f(x):=\begin{cases} \frac{1}{n+1}, & \mbox{für } x\in[-\frac{1}{n},-\frac{1}{n+1})\cup (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] n\in\IN \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
durch die Treppenfunktion:
[mm] \varphi_i(x):=\begin{cases} \frac{1}{i+2}, & \mbox{für } x\in[-\frac{1}{i},-\frac{1}{i+1})\cup (\frac{1}{i+1},\frac{1}{i}] i\in[1,...,k] \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } x=0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
approximiert wird, indem sie zeigen, dass die Treppenfunktion in der Supremums Norm auf dem Intervall [-1,1] gegen f konvergiert für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}, [/mm] also dass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vert\vert\varphi_i(x)-f(x)\vert\vert_{L^{\infty}(-1,1)}=0 [/mm] |
Hallo zusammen,
die Treppenfunktion [mm] \varphi_i(x) [/mm] ist von mir so definiert, ich hoffe das diese soweit in ordnung ist? Da bei [mm] \varphi_i [/mm] das i nur eine endliche Zahl ist im Gegensatz zu f, wo n gegen unendlich geht, müsste doch [mm] \varphi [/mm] diejenige Treppenfunktion sein, welche f approximiert?
Wahrscheinlich ist es sehr einfach, aber wie genau kann ich mathematisch korrekt zeigen, dass die Treppenfunktion [mm] \varphi_i [/mm] gegen f in den Supremumsnorm konvergiert? Die Supremumsnorm greift sich doch den maximalen Funktionswert in dem gegebenen Intervall raus, oder? D.h. in diesem Fall erreicht man doch den maximalen Funktionswert von f, wenn x=1, dann ist x aus dem Intervall für n=1 und damit sollte für den Funktionswert gelten: [mm] f(1)=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}, [/mm] also ist der maximale Funktionswert auf dem Intervall [mm] \frac{1}{3}...das [/mm] ist doch aber bei meiner von mir definierten Treppenfunktion [mm] \varphi_i [/mm] auch der Fall, oder?
Ich hätte dann [mm] \vert\vert\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\vert\vert [/mm] ?? Irgendwas scheint da überhaupt nicht zu stimmen, denn der Grenzwert würde hier ja keine Rolle mehr spielen??
Bitte um Hilfe, würde mir sehr helfen!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:03 Do 19.05.2011 | | Autor: | Rauchzart |
Hi,
in der Supremumsnorm konvergieren die sicher nicht, ganz unten steht bei dir aber auch die [mm] L^{\infty} [/mm] Norm. Das ist was anderes. Außerdem würde ich annehmen, dass die Folge [mm] \varphi_k [/mm] und nicht [mm] \varphi_i [/mm] lauten muss.
Schlag das mal nochmal nach.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Do 19.05.2011 | | Autor: | Theoretix |
Bei mir im Skript steht:
[mm] \vert\vert f\vert\vert_{L^{\infty(a,b)}}:=sup_{x\in(a,b)}\vert f(x)\vert,
[/mm]
für mich ist das die Supremumsnorm?
Ok, du hast wohl recht, dass man die Stufenfunktion mit [mm] \varphi_k [/mm] bezeichnen müsste, aber wie zeige ich denn nun, dass diese gegen f konvergiert?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 21.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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