Regelm. n-Ecke: Minimalpolynom < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Minimalpolynom bei einem 9-Eck mit [mm] z=e^{2(\pi)i/9} [/mm] und Re(z)=x mit [mm] x=cos(2\pi/9), [/mm] bzw. bei einem n-Eck mit geradem n |
Hallo liebes Forum,
bezüglich meiner Klausur nächste Woche habe ich noch eine ziemlich dringende Frage bezüglich der Bestimmung von Minimalpolynomen in regelmäßigen n-Ecken.
In den Übungen der letzten Wochen haben wir immer mit einer ganz speziellen Methode (gehe ich gleich weiter drauf ein) die Minimalpolynome eines regelmäßgien 3-, 5-, und 7-Ecks bestimmt und so etwas müssen wir wohl auch in der Klausur können.
Dabei haben wir z.b. am Beispiel des 5-Ecks von [mm] z=e^{2(\pi)i/5} [/mm] den Realteil gleich x gesetzt und dann ausgehend vom Polynom [mm] X^5-1, [/mm] der z als Nullstelle hat mit geometrischer Reihe eine Nullstelle ausgeklammert und kamen so zu einem Polynom vierten Grades. Dieses konnten wir dann durch betrachten zweier weiterer Nullstellen a=z+z^-1 und [mm] b=z^2+z^-2 [/mm] auf ein Polynome zweiten Grades reduzieren, sodass beim 5-Eck schlussendlich [mm] X^2+X-1 [/mm] als Minimalpolynom herauskam.
Soweit so gut, das habe ich auch alles verstanden.
Nun zu meiner eigentlichen Frage: Da in der Klausur ja wahrscheinlich ein anderes n-Eck drankommen wird, als wir schon hatten, habe ich mir überlegt, dass dies gut ein 9-Eck bzw. evtl auch ein 4-, oder 6-Eck sein könnte.
Wenn ich nun aber das oben beispielhafte Verfahren auf ein 9-Eck mit Realteil [mm] cos(2\pi/9) [/mm] anwende, würde aber ein Polynom vierten Grades mit meiner Rechnung herauskommen, in einem anderen Forum habe ich aber gesehen, dass das Minimalpolynom hier Grad 3 hat?!
Und bei einem n-Eck mit geradem n (also zb 4 oder 6) wüsste ich nicht wie ich mein Verfahren anwenden könnte, da hier der Trick mit den Nullstellen a und b ohne weiteres nicht funktioniert?!
Könnte mir also jemand verraten, wie man das Minimalpolynom in diesen Fällen bestimmt und wie die schlussendlichen Minimalpolynome konkret aussehen. Dazu fällt mir nämlich konkret kein Weg, der ähnlich zum Rechenweg meiner bisherigen Übungsaufgaben passt, ein. Oder kann man das Minimalpolynom bei einem geraden n gar nicht ohne weiteres berechnen?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 09.02.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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