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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 27.01.2013 | | Autor: | hamma |
Servus,
ich habe die folgende Differenzengleichung des zeitdiskreten Systems in eine z-Übertragungsfunktion überführt. Wäre meine Berechnung soweit richtig?
Das zeitdiskrete System lautet:
y(kT)=-3y(kT-T)-2y(kT-2T)+2u(kT-2T)
Und meine berechnete z-Übertragungsfunktion lautet:
[mm] Y_{(z)}=-\bruch{3Y_{(z)}}{z}-\bruch{2Y_{(z)}}{z^{2}}+\bruch{2U_{(z)}}{z^{2}}
[/mm]
[mm] Y_{(z)}(1+\bruch{3}{z}+\bruch{2}{z^{2}})=\bruch{2U_{(z)}}{z^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{Y_{(z)}}{U_{(z)}}=\bruch{2}{z^{2}}*\bruch{1}{(1+\bruch{2}{z^{2}}+\bruch{3}{4})}=\bruch{2}{z^{2}+3z+2}
[/mm]
Gruß hamma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 So 27.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hamma,
das sieht gut aus, wenn auch in der letzten Zeile aus dem z im Nenner des Nennerausdrucks eine 4 geworden ist, was wohl ein Vertipper ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Sa 02.02.2013 | | Autor: | hamma |
Ich soll überprüfen ob das System asymptotisch stabil ist und würde gerne wissen ob meine Behauptung richtig wäre:
[mm] \bruch{Y_{(z)}}{U_{(z)}}=\bruch{2}{z^{2}+3z+2}=\bruch{2}{(z+2)*(z+1)}
[/mm]
Ich würde behaupten ja da die Pole [mm] \le1 [/mm] sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo hamma,
ich befürchte, Du hattest die Stabilitätskriterien im Laplacebereich im Kopf, als Du die Lösung schriebst. Im z-Bereich müssen alle Pole innerhalb der Einheitskreises liegen, damit das System stabil ist (grenzstabil, wenn einfache Pole auf dem Einheitskreis liegen). Das ist hier nicht der Fall.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 02.02.2013 | | Autor: | hamma |
Hallo,
danke für die Antwort.
Hat das was du meinst mit dem Nyquistkriterium zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo hamma,
ja, das ist eine Auswirkung des Nyquistkriteriums. Mathematisch betrachtet
hat es einfach damit zu tun, dass die linke p-Halbebene in den Einheitskreis abgebildet wird.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 03.02.2013 | | Autor: | hamma |
Bin mir noch etwas unsicher bezüglich der Stabilität.
Im z-Bereich müssen alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen also nicht --1<z<1 überschreiten. Dann wäre der z-Bereich asymptotisch stabil.
Grenzstabil wäre der z-Bereich, wenn einfache Pole auf dem Einheitskreis liegen, also z=-1 oder z=1
Wie ist die Stabilität zu bewerten wenn man eine doppelte Nullstelle hat?
Ein paar Beispiele die ich gelöst habe falls meine Lösung stimmt.
[mm] G_{(z)}=\bruch{2}{(z+2)\cdot{}(z+1)} [/mm]
-Keine Stabilität, da z=-2
[mm] G_{(z)}=\bruch{1}{(z-\bruch{3}{4})\cdot{}(z+\bruch{3}{4})} [/mm]
-Asymptotisch stabil
[mm] G_{(z)}=\bruch{0,4}{(z-0,8)^{2}} [/mm]
-Hier bin ich mir unsicher wegen der doppelten Nullstelle
[mm] G_{(z)}=\bruch{z}{(z-0,1)*(z+0,2)} [/mm]
-Asymptotisch stabil
[mm] G_{(z)}=\bruch{z}{(z-0,5} [/mm]
-Asymptotisch stabil
Wären meine Lösungen soweit richtig?
Gruß hamma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 So 03.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo hamma,
jetzt musste ich aber auch erst mal tief in meinen alten RT-Unterlagen wühlen. Dort fand ich folgendes:
Das System ist instabil, wenn mindestens ein Pol außerhalb des Einheiskreises liegt bzw. wenn ein doppelter Pol auf dem Einheitskreis liegt. Bei einem einfachen Pol auf dem Einheitskreis ist die Sache noch grenzstabil.
Im Innern des Einheitskreises dürfen auch mehrfache Polstellen auftreten, das ändert nichts an der Stabilität. Dein Beispiel mit der doppelten Nullstelle bei 0,8 stört also nicht die Stabilität.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 So 03.02.2013 | | Autor: | hamma |
Danke für die Antwort.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 02.02.2013 | | Autor: | hamma |
Servus, ich würde gerne wissen ob meine Berechnung soweit richtig wäre. Die Aufgabe ist nicht fertig berechnet.
Die Aufgabe lautet:
Ermitteln Sie für [mm] u(kT)=\sigma{(kT)} [/mm] (Einheitssprungfunktion) die Werte der Sprungantwort y(kT) des Systems an den Stellen k=0,1,2,3,4...
Durch Rücktransformation in den Zeitbereich mittels Partialbruchzerlegung.
Zeitdiskretes System:
y(kT)=-3y(kT-T)-2y(kT-2T)+2u(kT-2T)
z-Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems (bereits berechnet):
[mm] \bruch{Y_{(z)}}{U_{(z)}}=\bruch{2}{z^{2}+3z+2}
[/mm]
[mm] Y_{(z)}*(z+2)*(z+1)=2*U_{(z)}
[/mm]
Einheitssprung: [mm] u(kT)=\sigma{(kT)} \Rightarrow\sigma{(kT)} [/mm] transformiert ergibt [mm] \bruch{1}{p}
[/mm]
[mm] Y_{(z)}*(z+2)*(z+1)=2*\bruch{1}{p}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{p} [/mm] nach z-transformiert ergibt [mm] \bruch{z}{z-1} [/mm] und eingesetzt:
[mm] Y_{(z)}*(z+2)*(z+1)=2*\bruch{z}{z-1}
[/mm]
[mm] \bruch{Y_{(z)}}{z}=\bruch{2}{(z-1)*(z+2)*(z+1)}
[/mm]
Danach würde ich mit der Partialbruchzerlegung beginnen soweit ich keinen Fehler gemacht habe.
Gruß hamma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 03.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo hamma,
in Deinem Gedankengang konte ich jetzt keinen Fehler finden, allerdings hast Du einmal in einer Gleichung die Laplace-Transformierte des Einheitssprungs und die z-Transformierte des Systems miteinander verknüpft in einer Weise, die mathematisch natürlich nicht stimmt. p und z in einer Gleichung, das haut nicht hin.
Was Du brauchst, ist die z-Transformierte des Einheitssprungs und die hast du ja dann auch richtig angegeben mit
[mm]Z(U(n)) = \bruch{z}{z-1} [/mm]
Der Rest ist okay und Du kannst an die Partialbruchzerlegung gehen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 03.02.2013 | | Autor: | hamma |
Ok, danke für die Überprüfung, ich habe die Aufgabe verbessert und weitergerechnet.
Ermitteln Sie für [mm] u(kT)=\sigma{(kT)} [/mm] (Einheitssprungfunktion) die Werte der Sprungantwort y(kT) des Systems an den Stellen k=0,1,2,3,4...
Durch Rücktransformation in den Zeitbereich mittels Partialbruchzerlegung.
Zeitdiskretes System:
y(kT)=-3y(kT-T)-2y(kT-2T)+2u(kT-2T)
z-Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems (bereits berechnet):
[mm] \bruch{Y_{(z)}}{U_{(z)}}=\bruch{2}{z^{2}+3z+2}
[/mm]
[mm] Y_{(z)}*(z+2)*(z+1)=2*U_{(z)}
[/mm]
Einheitssprung: [mm] u(kT)=\sigma{(kT)} \Rightarrow\sigma{(kT)} [/mm] transformiert ergibt [mm] \bruch{z}{z-1}
[/mm]
eingesetzt ergibt:
[mm] Y_{(z)}*(z+2)*(z+1)=2*\bruch{z}{z-1}
[/mm]
[mm] \bruch{Y_{(z)}}{z}=\bruch{2}{(z-1)*(z+2)*(z+1)}
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{Y_{(z)}}{z}=\bruch{A}{z+2}+\bruch{B}{z+2}+\bruch{C}{z-1}
[/mm]
Die Partialbruchzerlegung sollte bei mir stimmen, ich komme dann auf:
[mm] \bruch{Y_{(z)}}{z}=\bruch{2}{3}*\bruch{1}{z+2}-\bruch{1}{z+1}+\bruch{1}{3}*\bruch{1}{z-1}
[/mm]
[mm] Y_{(z)}=\bruch{2}{3}*\bruch{z}{z+2}-\bruch{z}{z+1}+\bruch{1}{3}*\bruch{z}{z-1}
[/mm]
Und rücktransformiert lautet das Ergebnis:
[mm] Z\{\bruch{z}{z-a}\}=a^{k}
[/mm]
[mm] f(kT)=\bruch{2}{3}*2^{k}-1*1^{k}+\bruch{1}{3}*(-1)^{k}
[/mm]
[mm] f(kT)=\bruch{4}{3}*2^{k}-1+\bruch{1}{3}*(-1)^{k}
[/mm]
Wäre meine Vorgehensweise soweit richtig?
Gruß hamma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 03.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo hamma,
die Rechnung ist soweit okay bis auf die Rücktransformation. Dort hast Du die richtige Korrespondenz angegeben, aber aus irgendwelchen Gründen nicht richtig eingesetzt bzw. Du bist wohl mit den Termen durcheinander gekommen.
Ich komme auf
[mm] f(k) = \bruch{2}{3} (-2)^k - (-1)^k + \bruch{1}{3} u(k) [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 So 03.02.2013 | | Autor: | hamma |
Servus, ja du hast recht, ich habe falsch eingesetzt. merci für den Hinweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 03.02.2013 | | Autor: | hamma |
Servus ich habe noch folgendes Problem. Wie müsste ich bei der Aufgabe vorgehen wenn ich das anhand der Differentialgleichung berechnen müsste?
Könntest du mir bitte einen Hinweis geben.
Ermitteln Sie für [mm] u(kT)=\sigma{(kT)} [/mm] (Einheitssprungfunktion) die Werte der Sprungantwort y(kT) des Systems an den Stellen k=0,1,2,3,4...
Zeitdiskretes System:
y(kT)=-3y(kT-T)-2y(kT-2T)+2u(kT-2T)
Gruß hamma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo hamma,
augenscheinlich sollst Du ja eine allgemeingültige Antwort finden und nicht einfach nur ein paar Werte einsetzen.
Also würde ich die z-Transformierte wieder aufstellen, nach Y(z) auflösen und rücktransformieren.
Aus Deiner Differenzengleichung bekommst Du ja sofort
[mm] U(z) ( 1 + 3 z^{-1} + 2 z^{-2}) = 2U(z) z^{-2} [/mm]
Beide Seiten mit [mm] z^2 [/mm] multiplizieren und dann weiter umformen, wie in der bereits in diesem Thread besprochenen Aufgabe.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Di 05.02.2013 | | Autor: | hamma |
Servus infinit,
danke das du mir bei der Aufgabenstellung geholfen hast.
ich habe mich verschrieben bei der Aufgabenstellung, ich meinte die Differenzengleichung anstatt Differentialgleichung. Die Aufgabe habe ich mittlerweile gelöst.
Viele Grüße hamma
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