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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Do 16.07.2015 | | Autor: | Samy12 |
| Aufgabe | Gegeben ist das Regressionsmodell:
[mm] Y_{i} [/mm] = [mm] \gamma [/mm] + [mm] e_{i}
[/mm]
i=1,...,n
a) Bestimme die Designmatrix X.
b) Bestimme die orthogonale Projektion des Vektors [mm] v_{i} [/mm] = [mm] (1,1,0,...,0)^T [/mm] auf L = L (X) [mm] \subset \mathbb R_{n} [/mm] und die orthogonale Projektion des Vektors v auf L [mm] ^\perp \subset \mathbb R_{n}.
[/mm]
c) Bestimme den Minimum-Quadrat-Schätzer [mm] \gamma \wedge [/mm] für [mm] \gamma.
[/mm]
d) Entscheide und begründe, ob es einen für [mm] \gamma [/mm] erwartungstreuen linearen Schätzer [mm] \gamma \wedge [/mm] gibt, so dass:
[mm] Var(\gamma \wedge) [/mm] < [mm] Var(\gamma\vee [/mm] ), wobei [mm] \gamma \wedge [/mm] der Minimum-Quadrat-Schäter für [mm] \gamma [/mm] ist. |
a) Designmatrix X= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ ...\\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
b) jetzt wollte ich erstmal die Projektionsmatrix berechnen.
Mit dieser Formel: [mm] P_{L} [/mm] = X [mm] *(X^T*X)^{-1}* X^T
[/mm]
Kann es sein, dass man den Rest der Aufgabe gar nicht lösen kann, weil die Designmatrix keinen vollen Rang besitzt? Und dass auch [mm] X^{T}* [/mm] X keine Inverse hat?
Die beiden linearen Teilräume sind einmal der lineare Teilraum der durch die Spalten von X erzeugt wird und der andere Teilraum von orthogonalem Komplement.
Bitte helft mir bei dieser Aufgabe, ich komme einfach nicht weiter.
Danke schonmal. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Do 16.07.2015 | | Autor: | luis52 |
> b) jetzt wollte ich erstmal die Projektionsmatrix
> berechnen.
> Mit dieser Formel: [mm]P_{L}[/mm] = X [mm]*(X^T*X)^{-1}* X^T[/mm]
>
> Kann es sein, dass man den Rest der Aufgabe gar nicht
> lösen kann, weil die Designmatrix keinen vollen Rang
> besitzt? Und dass auch [mm]X^{T}*[/mm] X keine Inverse hat?
>
Moin, wieso? Die Inverse existiert doch: $1/n$. Es gibt da ein sprachliches Problem: $X$ muss den vollen *Spalten*rang besitzen. Und das tut sie, der Spaltenrang ist 1.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:54 Do 16.07.2015 | | Autor: | Samy12 |
Ok, dann kann ich also meine Projektionsmatrix ausrechnen.
Das wäre dann:
[mm] \pmat{ 1/n .... & 1/n \\ 1/n... & 1/n }
[/mm]
Zeilen nach unten dann natürlich auch n mal.... geht hier irgendwie nicht anders.
Was muss ich dann mit dem Vektor machen?
Eigenschaften einer Projektionsmatrix sind ja:
[mm] P_{L} [/mm] * a = a für alle a [mm] \in [/mm] L
und
[mm] P_{L} [/mm] * a = = für alle a [mm] \in L^\perp
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 18.07.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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