Regular Curves < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Let [mm] $\gamma$ [/mm] be a regular curve in [mm] $\IR^3$ [/mm] parametrized by arc-length. If it is in a sphere with radius r and its tortion [mm] $\tau$ [/mm] is never zero, show its curvature [mm] $\kappa$ [/mm] and torsion [mm] $\tau$ [/mm] satisfy the following equation.
[mm] $$(1/\kappa)^2 [/mm] + [mm] ((\kappa [/mm] ') / [mm] \kappa^2 \tau)^2 [/mm] = [mm] r^2$$
[/mm]
Hint: the position vector of the curve from the center of the sphere can be written as a linear combination of Frenet frame. |
Hallo, ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und habe auch teils die Lösung davon, aber ich kann sie nicht so ganz nachvollziehen:
Also ich kann davon ausgehen, dass der Mittelpunkt der Sphäre im Ursprung von [mm] $\IR^3$ [/mm] liegt, da die verschobene Kurve abgesehen von einer Rigid Motion äquivalent sind.
So, und jetzt sind die Bilder der Parametrisierung [mm] $\gamma$ [/mm] auf dieser Sphäre. Also kann ich davon ausgehen, dass $$r(s) * t(s) = 0$$
Wobei $r(s)$ der Ortsvektor vom Punkt [mm] $\gamma(s)$ [/mm] ist und $s$ arc length und $t(s)$ der tangentialvektor am punkt [mm] $\gamma(s)$.
[/mm]
Wie würde man nun weiter vorgehen?
|
|
| |
|
> Let [mm]\gamma[/mm] be a regular curve in [mm]\IR^3[/mm] parametrized by
> arc-length. If it is in a sphere with radius r and its
> tortion [mm]\tau[/mm] is never zero, show its curvature [mm]\kappa[/mm] and
> torsion [mm]\tau[/mm] satisfy the following equation.
>
> [mm](1/\kappa)^2 + ((\kappa ') / \kappa^2 \tau)^2 = r^2[/mm]
>
> Hint: the position vector of the curve from the center of
> the sphere can be written as a linear combination of Frenet
> frame.
> Hallo, ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und habe
> auch teils die Lösung davon, aber ich kann sie nicht so
> ganz nachvollziehen:
>
> Also ich kann davon ausgehen, dass der Mittelpunkt der
> Sphäre im Ursprung von [mm]\IR^3[/mm] liegt, da die verschobene
> Kurve abgesehen von einer Rigid Motion äquivalent sind.
> So, und jetzt sind die Bilder der Parametrisierung
> [mm]$\gamma$[/mm] auf dieser Sphäre. Also kann ich davon ausgehen,
> dass [mm]r(s) * t(s) = 0[/mm]
>
> Wobei [mm]r(s)[/mm] der Ortsvektor vom Punkt [mm]\gamma(s)[/mm] ist und [mm]s[/mm] arc
> length und [mm]t(s)[/mm] der tangentialvektor am punkt [mm]\gamma(s)[/mm].
>
> Wie würde man nun weiter vorgehen?
Mit "if the curve is in a sphere with radius r" ist hier wohl
gemeint, dass die Kurve in der Kugelfläche liegen soll -
und nicht etwa bloß innerhalb der entsprechenden (Voll-) Kugel,
oder ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a sphere ist engl eindeutig auf einer Späre, sonst hiesse es in a ball, sphere ist immer eine dim niedriger als der Raum-
gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> in a sphere ist engl eindeutig auf einer Späre, sonst
> hiesse es in a ball, sphere ist immer eine dim niedriger
> als der Raum-
> gruss leduart
Consider, however:
a sphere divides the three dimensional space into two
regions: the inside and the outside of the sphere.
So, "in the sphere" may at least be easily confused
with "inside the sphere" ...
Greetz ! Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 26.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
