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Reihe: Zeigen von Eigenschaften
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 So 17.10.2010
Autor: clemenum

Aufgabe
Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge reeller Zahlen, welche der Bedingung [mm]\sum_{n=1}^\infty|a_{n+1}-a_n|<\infty [/mm]  genügt. Zeige, dass es dann nach oben beschränkte (monotone) Folgen [mm] c_n [/mm] und [mm] d_n [/mm] gibt,  sodass [mm] a_n= c_n-d_n [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Ich habe disbezüglich keinerlei Idee, wie ich dies angehen soll.

Ich bitte einen von euch herzlich um einen Lösungshinweis bzw. ein gemeinsames Erarbeiten der Lösung! :)

        
Bezug
Reihe: straight forward
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Mo 18.10.2010
Autor: moudi

Hallo clemenum

Diese Aufgabe kannst du "straight forward" angehen. Im wesentlichen definierst du [mm] $c_n$ [/mm] und [mm] $d_n$ [/mm] induktiv.

Es gibt beim Induktionsschritt zwei Moeglichkeiten:

i) Entweder ist [mm] $a_{n+1}\geq a_{n}$, [/mm] dann muss die Differenz [mm] $c_{n+1}-d_{n+1}$ [/mm] zunehmen. Mache in diesem Fall [mm] $c_{n+1}\geq c_n$ [/mm] und belasse [mm] $d_{n+1}=d_n$. [/mm]

ii) oder [mm] $a_{n+1} Mache in diesem Fall [mm] $d_{n+1}>d_{n}$ [/mm] und belasse [mm] $c_{n+1}=c_n$. [/mm]

Die Bedingung garantiert, dass beide Folgen [mm] $c_n$ [/mm] und [mm] $d_n$ [/mm] beschraenkt bleiben.

mfG Moudi



Bezug
                
Bezug
Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Di 19.10.2010
Autor: clemenum

Vielen Dank für diese Erläuterung!
Ich habe jedoch eine Gegenfrage, auch wenn diese als eher unnötig erscheint: Wieso folgt aus [mm] $a_{n+1} \geq a_n$ [/mm] zwangsläufig, dass [mm] c_{n+1}-d_{n+1} [/mm] immer größer wird und wieso darf man die Folge [mm] (d_n) [/mm] als konstant belassen?

Mfg.
Clemenum

Bezug
                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:08 Di 19.10.2010
Autor: leduart

Hallo
schreib doch aus der Def einfach [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] mal auf!
gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Di 19.10.2010
Autor: clemenum

Tut mir leid, aber kommende (dumme)  Frage muss ich leider stellen:
Welche Definition meinst du, es kommt nur eine in Frage und diese ist [mm] $a_n=c_n-d_n$, [/mm] diese liegt jedoch schon in der Behauptung, daher darf ich diese nicht benutzen...

Lg.
Clemenum

Bezug
                                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Di 19.10.2010
Autor: leduart

Hallo
natürlich kannst zu jeder Zahl [mm] a_n [/mm] 2 Zahlen [mm] d_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] finden mit [mm] a_n=c_n-d_n [/mm]
ebenso für [mm] a_{n+1}=c_{n+1}-d_{n+1} [/mm] erstmal noch frei gewählt. damit ist dann [mm] a_n-a_n+1=... [/mm] und du kannst die d und c jetzt entsprechend  dem ersten post wählen.
Gruss leduart


Bezug
        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Di 19.10.2010
Autor: fred97

Einige Bemerkungen:

1. Im Gegensatz zu moudi bin ich überhaupt nicht der Meinung, dass man die Aufgabe "straight forward" angehen kann.

2. Die Tipps von moudi sind in meinen Augen nicht brauchbar.


Edit: obiges nehme ich zurück !  Siehe: https://matheraum.de/read?i=722779

3. Die Aufgabe ist alles andere als leicht. Die Schwierigkeit besteht darin, geeignete Folgen [mm] (c_n) [/mm] und [mm] (d_n) [/mm] zu finden, aber wie ?

4. Tipp:

        [mm] $c_n:= \bruch{1}{2}(\summe_{i=1}^{n}|a_{i+1}-a_i| ~+a_n)$ [/mm]

        [mm] $d_n:= \bruch{1}{2}(\summe_{i=1}^{n}|a_{i+1}-a_i| ~+a_n)$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Reihe: Wieso unbrauchbar?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:19 Mi 20.10.2010
Autor: moudi

Hallo Fred97

Wieso sollen meine Tipps unbrauchbar sein?

mfG Moudi

Bezug
                        
Bezug
Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:25 Mi 20.10.2010
Autor: fred97


> Hallo Fred97
>  
> Wieso sollen meine Tipps unbrauchbar sein?
>  
> mfG Moudi


Hallo Moudi,

Du schreibst: " .......... Im wesentlichen definierst du $ [mm] c_n [/mm] $ und $ [mm] d_n [/mm] $ induktiv. "

Was soll " im wesentlichen" bedeuten ? Definiere ich nun induktiv oder nicht ?

Und wie ?

Was ist der Induktionsanfang ?

Mach einfach mal vor. Ich sehe nicht, wie das gehen soll, das kann natürlich an meiner Blödheit liegen.

Falls ich Dir Unrecht getan haben sollte, werd ich mich selbstverständlich entschuldigen.

Also, zeig mal Deine Lösung.

Grüße FRED


P.S. das sollte eigentlich keine Frage werden .............


Bezug
                                
Bezug
Reihe: vollstaendige Loesung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Mi 20.10.2010
Autor: moudi

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo fred97

Verankerung: n=1
Definiere $c_1=a_1$ und $d_1=0$

Induktionsschritt $n\to n+1$.

Ist $a_{n+1}\geq a_n$, dann definiere $c_{n+1}=c_n+a_{n+1}-a_n$ und $d_{n+1}=d_n$.
Es gilt $c_{n+1}\geq c_n$ und $d_{n+1}\geq d_n$ und weiter $c_{n+1}-d_{n+1}=c_n+a_{n+1}-a_{n}-d_{n}=c_{n}-d_{n}+a_{n+1}-a_{n}=a_{n}+a_{n+1}-a_{n}=a_{n+1}$. Hier wurde die Induktionsvoraussetzung $c_n-d_n=a_n$ benutzt.

Ist $a_{n+1}<a_{n}$, dann definiere $c_{n+1}=c_n$ und $d_{n+1}=d_n+{a_n}-a_{n+1}$.
Es gilt $c_{n+1}\geq c_n$ und $d_{n+1}>d_{n}$ und weiter $c_{n+1}-d_{n+1}=c_n-d_n-a_{n}+a_{n+1}=a_{n}-a_{n}+a_{n+1}=a_{n+1}$. Wieder wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt.

Weiter ist $c_n-c_1=(c_{n}-c_{n-1})+(c_{n-1}-c_{n-2})+\dots+(c_2-c_1)$. Jeder Summand in einer Klammer ist von der Form $0$ oder $a_{k+1}-a_{k}$ fuer ein $k\in\{1,2,\dots,n-1\}$. Nach der Voraussetzung ist dann $c_n-c_1\leq\sum_{k}|{a_{k+1}-a_{k}|$ also beschraenkt.

Analog ist d_{n}-d_{1}=(d_n-d_{n-1})+(d_{n-1}-d_{n-2})+\dots+(d_2-d_1)$. Jeder Summand in einer Klammer ist von der Form \(0\) oder $a_{k}-a_{k+1}$ fuer ein $k\in\{1,2,\dots,n-1\}$. Wiederum gilt $d_{n}-d_1\leq\sum_k|a_{k+1}-a_{k}|$.

mfG Moudi





Bezug
                                        
Bezug
Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:46 Mi 20.10.2010
Autor: fred97

Hallo Moudi ,

Respekt, eine tadellose Lösung ! (aber "straight forward" ist das nicht so ganz )

Ich muß mich entschuldigen.

Grüße FRED

Bezug
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