Reihe - Konvergenz/Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Do 05.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert bzw. divergiert die Reihe?
[mm] \summe_{K=1}^{\infty} k^2x^k [/mm] |
Kann man hier mit der geometrischen Reihe argumentieren und sagen, dass
[mm] \summe_{K=1}^{\infty} x^k [/mm] eine Minorante ist und für alle x im offenen Intervall (-1,1) konvergiert und somit für x [mm] \ge [/mm] 1 und x [mm] \le [/mm] -1 divergiert?
|
|
| |
|
Hallo Anazeug,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert bzw. divergiert die
> Reihe?
>
> [mm]\summe_{K=1}^{\infty} k^2x^k[/mm]
> Kann man hier mit der
> geometrischen Reihe argumentieren und sagen, dass
> [mm]\summe_{K=1}^{\infty} x^k[/mm] eine Minorante ist und für alle
> x im offenen Intervall (-1,1) konvergiert und somit für x
> [mm]\ge[/mm] 1 und x [mm]\le[/mm] -1 divergiert?
Was hilft dir denn eine konvergente Minorante im Bezug auf eine Konvergenzaussage zur größeren Reihe? Nix ...
Rechne doch direktemeng mit einer der bekannten Formeln den Konvergenzradius zu [mm]\rho=1[/mm] aus. Dann hast du schon sicher Konvergenz für [mm]|x|<1[/mm] und Divergenz für [mm]|x|>1[/mm]
Die Randpunkte [mm]x=\pm 1[/mm] setzt du in die Reihe ein und bekommst [mm]\sum\limits_{k\ge 1}k^2[/mm], respektive [mm]\sum\limits_{k\ge 1}(-1)^k\cdot{}k^2[/mm] - beide ersichtlich (?) divergent. (Warum? und warum ersichtlich?)
Also hast du mit dem Ergebnis recht, aber der Weg erscheint mir wenig plausibel...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Do 05.07.2012 | | Autor: | Anazeug |
Trivialkriterium, da [mm] k^2 [/mm] keine Nullfolge ist und damit eine Reihe konvergiert, muss die Folge der Reihe zumindest eine Nullfolge sein.
Danke dir, für die schnelle Antwort. :)
|
|
|
|
