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| Aufgabe | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{(2n)!}
[/mm]
Zeigen mit Quotientenkriterium, dass die Reihe konvergiert. |
Hallo!
Frage zur Klammernsatzung (n+1)
Nach langem einsetzten bekomme ich die Formel
[mm] \bruch{((n+1)!)^2 (2n)!}{(2n+1)! (n!)^2}
[/mm]
oder muss ich (n+1) in Klammer setzten (wie bei der Induktion)
[mm] \bruch{((n+1)!)^2 (2n)!}{(2(n+1))! (n!)^2}
[/mm]
Mir gefällt das Ergebnis vom ersten viel besser, da ich sonst noch Fakultäten drinne hätte. ;)
[mm] \bruch{(n+1)^2}{2n+1}
[/mm]
Wenn ich (n+1) klammern muss, bitte um Erklärung wie ich weiter machen muss.
Danke!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm]
>
> Zeigen mit Quotientenkriterium, dass die Reihe
> konvergiert.
Das Quotientenkriterium für Reihen lautet allgemein: [mm]q:=\(\lim_{n \to \infty}\frac{\red{|}a_{k+1}\red{|}}{\red{|}a_k\red{|}}[/mm]
Also nicht die Betragsstriche vergessen!
>
> Frage zur Klammernsatzung (n+1)
>
> Nach langem einsetzten bekomme ich die Formel
>
> [mm]\bruch{((n+1)!)^2 (2n)!}{(2n+1)! (n!)^2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> oder muss ich (n+1) in Klammer setzten (wie bei der
> Induktion)
>
> [mm]\bruch{((n+1)!)^2 (2n)!}{(2(n+1))! (n!)^2}[/mm]
Wäre mit Betragsstrichen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich (n+1) klammern muss, bitte um Erklärung wie ich
> weiter machen muss.
Zunächst mal schreibst du die Potenzen derart um:
[mm] $((n+1)!)^2=((n+1)!)\cdot [/mm] ((n+1)!)$
und wendest Fakultätsregeln derart an:
[mm] $(n+1)!=(n+1)\cdot [/mm] (n!)$
Wie man $(2n+2)!$ herunterbricht machst du selbst.
Und vergiss die Betragsstriche nicht!
Valerie
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Jetzt hab ich dieses Ergebnis... und kann damit überhaupt nichts anfangen. (oder ich hab mich verrechnet)
[mm] |\bruch{(n+1)(2n)!}{2n!}|
[/mm]
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Hi!
> Jetzt hab ich dieses Ergebnis... und kann damit überhaupt
> nichts anfangen. (oder ich hab mich verrechnet)
>
> [mm]|\bruch{(n+1)(2n)!}{2n!}|[/mm]
Da hast du dich verrechnet.
Schreibe doch mal deinen Rechenweg.
Valerie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 So 23.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo martin_vie,
rauskommen sollte [mm] $\bruch{1}{4}$.
[/mm]
Valerie hat Dir die dazu nötige Formel schon gesagt, (n+1)!=(n+1)*n!
Daraus folgt auch (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!
Grüße
reverend
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Also hab das hier herausbekommen...
[mm] |\bruch{((n+1)(n!) (n+1)(n!)) (2n!)}{((2n+2)(2n+1)(2n!))(n!)^2}|
[/mm]
der Rechner zeigt mir jetzt gekürzt
[mm] \bruch{|\bruch{n+1}{2(2n+1)}|}{2}
[/mm]
an.
Wieso kommt er auf dieses Ergebnis, wenn ich den absoluten Betrag möchte? Wenn ich es normal (ohne abs.) eingebe spuckt er das Endergebnis aus. Ab wann darf ich aufhören mit dem Absolutenbetrag zu rechnen? War schon kurz davor mit 1/2 als Ergbnis aufzuhören.
Versteh es überhaupt nicht mehr. :(
LG
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Hallo nochmal,
> Also hab das hier herausbekommen...
>
> [mm]|\bruch{((n+1)(n!) (n+1)(n!)) (2n!)}{((2n+2)(2n+1)(2n!))(n!)^2}|[/mm]
Das ist Schrott. Es gilt [mm] (2n!)=2*n!\not=(2n)!
[/mm]
Probiers mal aus für n=2,3,4.
Glücklicherweise kürzt sich der fehlerhafte Term hier ja weg.
> der Rechner zeigt mir jetzt gekürzt
>
> [mm]\bruch{|\bruch{n+1}{2(2n+1)}|}{2}[/mm]
>
> an.
Das musst Du echt ohne Rechner können! Es ist zwar möglich, dass Dein Rechner da Fehler macht, aber ca. 100.000mal wahrscheinlicher ist, dass du etwas falsch eingegeben hast. Rechne es doch einfach von Hand nach.
Das Ergebnis ist [mm] \left|\bruch{(n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)}\right|
[/mm]
> Wieso kommt er auf dieses Ergebnis, wenn ich den absoluten
> Betrag möchte?
Keine Ahnung. Ich kenne die Software Deines Rechners ja nicht, weiß noch nicht einmal, welchen Rechner Du hast. Aber wie gesagt: das hier muss ohne Rechner gehen. Es ist Kinderkram.
> Wenn ich es normal (ohne abs.) eingebe
> spuckt er das Endergebnis aus. Ab wann darf ich aufhören
> mit dem Absolutenbetrag zu rechnen? War schon kurz davor
> mit 1/2 als Ergbnis aufzuhören.
Das wäre schlichtweg falsch.
Die Betragsstriche kannst Du eliminieren, sobald Du eine verlässliche Aussage darüber treffen kannst, wann Zähler und Nenner jeweils positiv bzw. negativ sind. Das ist hier von Anfang an einfach: beide sind immer positiv. Da kannst Du Dir also den Betrag sparen.
Valerie hat Dich nur darauf hingewiesen, dass die Betragsstriche zum Quotientenkriterium gehören, und es lohnt sich, sich das zu merken.
> Versteh es überhaupt nicht mehr. :(
Du brauchst jetzt noch den Grenzwert.
Was ist denn [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{(n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)} [/mm] ?
Und was besagt das Ergebnis?
Grüß
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm]
>
> Zeigen mit Quotientenkriterium, dass die Reihe
> konvergiert.
> Hallo!
>
> Frage zur Klammernsatzung (n+1)
>
> Nach langem einsetzten bekomme ich die Formel
>
> [mm]\bruch{((n+1)!)^2 (2n)!}{(2n+1)! (n!)^2}[/mm]
>
> oder muss ich (n+1) in Klammer setzten (wie bei der
> Induktion)
>
> [mm]\bruch{((n+1)!)^2 (2n)!}{(2(n+1))! (n!)^2}[/mm]
nur mal nebenher: Das hat nichts mit "Wie bei Induktion" zu tun. Du hast
[mm] $$(\*)\;\;\;a_n:= \bruch{(n!)^2}{(2n)!}$$
[/mm]
und willst zunächst mal
[mm] $$|a_{n+1}/a_n|$$
[/mm]
hinschreiben. Um [mm] $a_{n+1}$ [/mm] hinzuschreiben, nimmst Du [mm] $(\*)$ [/mm] her und ersetzt
jedes [mm] $n\,$ [/mm] durch [mm] $n+1\,,$ [/mm] und da darfst Du natürlich auch um das [mm] $n+1\,$ [/mm] Klammern
setzen, wenn Dir die Bedeutung des Distributivgesetzes nicht klar ist:
[mm] $$a_{\red{n+1}}= \bruch{(\red{(n+1)}!)^2}{(2\red{(n+1)})!}$$
[/mm]
Wenn's unklar ist, nimm' Dir bei sowas einfachste Beispiele her:
Wenn man [mm] $b_n:=2n$ [/mm] hat, was ist dann [mm] $b_\red{n+1}$? [/mm] Ist das [mm] $b_{n+1}=2n+1$ [/mm] oder
[mm] $b_{n+1}=2(n+1)\,$?
[/mm]
Test für [mm] $n=2\,$: $b_2=2*2=4$ [/mm] und [mm] $b_3=2*3=6\,.$ [/mm] Gilt nun [mm] $b_3=2*2+1$ [/mm] oder [mm] $b_3=2*(2+1)=2*3$?
[/mm]
Natürlich: Es ist [mm] $b_3=6=2*3=2*(2+1)\,,$ [/mm] und somit kann nur (bei dieser "Auswahl")
[mm] $b_{n+1}=2(n+1)\,,$ [/mm] was man noch zu [mm] $b_{n+1}=2n+2$ [/mm] umschreiben könnte, richtig
sein. Übrigens hätte man hier auch direkt sehen können, dass [mm] $b_{n+1} \not=2n+1\,$ [/mm]
gelten MUSS, denn [mm] $2n+1\,$ [/mm] ist stets ungerade!
Aber merke: Du kannst eigentlich nie was falsch machen, beim Ersetzen von [mm] $n\,$
[/mm]
durch [mm] $n+k\,,$ [/mm] wenn Du $n+k=(n+k)$ schreibst, also beim Ersetzen Klammern setzt.
Auch, wenn sie manchmal unnötig sind... (Oben könnte man auch [mm] $b_\red{(n+1)}$ [/mm]
schreiben, da wär's z.B. total unnötig!)
Gruß,
Marcel
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Hi!
Danke auch für eure Geduld und die tollen Erklärungen. Hat jetzt super funktioniert.
Bräuchte aber noch einen Hinweis, wie diese Fakultätsregeln funktionert.
(n+1)!=(n+1) (n!)
(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!
Die Herleitung von (2n+2)! kann ich überhaupt nicht nachvollziehen.
Kann mir das jemand allgemeiner aufschreiben. Hab schon versucht im Internet Faktultätsregeln und Distributivgesetz zu suchen, leider aber nichts passendes gefunden.
Danke Euch!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo martin_vie,
> Bräuchte aber noch einen Hinweis, wie diese
> Fakultätsregeln funktionert.
>
> (n+1)!=(n+1) (n!)
>
> (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!
>
> Die Herleitung von (2n+2)! kann ich überhaupt nicht
> nachvollziehen.
Es ist doch n! = 1*2*...*n.
Und (n+1)! = 1*2*...*n* (n+1)= (1*2*...*n)*(n+1)=n!*(n+1).
Und (2n+2)! = 1*2*...*2n*(2n+1)*(2n+2) = ...
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> Danke auch für eure Geduld und die tollen Erklärungen.
> Hat jetzt super funktioniert.
>
> Bräuchte aber noch einen Hinweis, wie diese
> Fakultätsregeln funktionert.
>
> (n+1)!=(n+1) (n!)
>
> (2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!
>
> Die Herleitung von (2n+2)! kann ich überhaupt nicht
> nachvollziehen.
> Kann mir das jemand allgemeiner aufschreiben. Hab schon
> versucht im Internet Faktultätsregeln und
> Distributivgesetz zu suchen, leider aber nichts passendes
> gefunden.
man kann's einfach hinschreiben, oder man übt ein wenig das Rechnen
mit Produktzeichen:
[mm] $$n!=\produkt_{k=1}^n [/mm] k$$
[mm] $$(n+1)!=\produkt_{k=1}^{\red{n+1}}k=(\produkt_{k=1}^n [/mm] k)*(n+1)=n!*(n+1)$$
[mm] $$(n+2)!=\produkt_{k=1}^\red{n+2}k=(\produkt_{k=1}^{n+1}k)*(n+2)=(\produkt_{k=1}^n [/mm] k)*(n+1)*(n+2)=n!*(n+1)*(n+2)$$
Schreib' Dir doch meinetwegen mal auf, wie Du $n!$ BERECHNEST für $n=4$:
[mm] $$4!=\red{(1*2*3*4)}$$
[/mm]
(das kannst Du auch [mm] $=4*3*2*1\,$ [/mm] schreiben, wenn Du magst)
Wie sieht nun $(n+1)!=5!$ aus?
[mm] $$5!=\red{(1*2*3*4)}*5=4!*5$$
[/mm]
Wie sieht $(n+2)!=6!$ aus?
[mm] $$6!=\red{(1*2*3*4)}*5*6=4!*5*6$$
[/mm]
Klarer?
Und dann bei Dir oben: [mm] $(2n+2)!=(2n+1)!*(2n+2)=(2n)!*(2n+1)*(2n+2)\,.$
[/mm]
Prinzipiell ist das nur die Rekursionsformel
[mm] $$(N+1)!=N!*(N+1)\,,$$
[/mm]
die Du nun mittels des Produktzeichens sofort erkennen können solltest.
Man muss halt auch nachrechnen können, dass
$$(2n+2)-1=2n+1$$
und dass
$$(2n+1)-1=2n$$
ist!
Gruß,
Marcel
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