www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Analysis des R1" - Reihe berechnen und Induktion
Reihe berechnen und Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Reihe berechnen und Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mo 20.11.2006
Autor: Boomi

Aufgabe
Berechne [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} [/mm]
und zeige induktiv, dass [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} = 4 ( \bruch{1}{2} - \bruch{n+1}{2^n+1} + \bruch{n}{2^n+2})[/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




Gut also [mm] 4 ( \bruch{1}{2} - \bruch{n+1}{2^n+1} + \bruch{n}{2^n+2}) [/mm] lässt sich umformen zu  [mm]2-\bruch{n+2}{2^n}[/mm]

soweit so gut jetzt ist das einmal vereinfacht
weiters kann per per Taschenrechner berechnen, dass genau [mm]2-\bruch{n+2}{2^n}[/mm] rauskommt aus der Summe [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} [/mm] nur ich weiß nicht wie ich darauf per Hand komme?

Zuerst habe ich versucht das umzuformen, und als geometrische Reihe anzuschreiben aber das geht nicht weil ein k drinnen steckt. Ich habe mir überlegt die Summe als Ergebnis eines Cauchy Produktes zu betrachten, das Problem dabei ich glaube das geht doch nur mit unendlichen produkten oder nicht?

Ich sehe mich echt nicht raus, wäre nett wenn mir wer helfen könnte

        
Bezug
Reihe berechnen und Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Mo 20.11.2006
Autor: zahlenspieler

Hallo Boomy,
> Berechne [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}[/mm]
>  und zeige
> induktiv, dass [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} = 4 ( \bruch{1}{2} - \bruch{n+1}{2^n+1} + \bruch{n}{2^n+2})[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
>
> Gut also [mm]4 ( \bruch{1}{2} - \bruch{n+1}{2^n+1} + \bruch{n}{2^n+2})[/mm]
> lässt sich umformen zu  [mm]2-\bruch{n+2}{2^n}[/mm]
>  
> soweit so gut jetzt ist das einmal vereinfacht
>  weiters kann per per Taschenrechner berechnen, dass genau
> [mm]2-\bruch{n+2}{2^n}[/mm] rauskommt aus der Summe [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}[/mm]
> nur ich weiß nicht wie ich darauf per Hand komme?
>  
> Zuerst habe ich versucht das umzuformen, und als
> geometrische Reihe anzuschreiben aber das geht nicht weil
> ein k drinnen steckt. Ich habe mir überlegt die Summe als
> Ergebnis eines Cauchy Produktes zu betrachten, das Problem
> dabei ich glaube das geht doch nur mit unendlichen
> produkten oder nicht?

Für eine Summe dieser Art gibt's die Abelsche Summenformel, aber das nur am Rande.
Also z.Z.: [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{k}{2^k}=2-\bruch{n+2}{2^n+2}[/mm].
Induktionsanfang ist klar.
Für den Schritt von $n$ nach $n+1$ brauchst Du nur die Summe 1 bis n+1 aufteilen in Summe 1 bis n [mm]+\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm] und die Induktionsannahme beachten.
Gruß
zahlenspieler


Bezug
                
Bezug
Reihe berechnen und Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:13 Di 21.11.2006
Autor: Boomi

Passt, danke viieeeelmals!

Hat mir sehr geholfen.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de