Reihe/gleichmäßige Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 26.10.2008 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie , dass die folgende Funktionenreihe
[mm] \summe_{i=n}^{\infty}[x^{n}(1-x)] [/mm] , x [mm] \in \IR
[/mm]
auf dem Intervall [0,1] punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert. |
Hallo,
dass die Funktionsreihe punktweise konvergiert, folgt aus der Konvergenz dieser Funktionsreihe für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] .
Jetzt muss man die gleichmäßige Konvergenz zeigen.
Welcher Ansatz wäre hier am besten?
Bzw. welchen Satz sollte man hier verwenden : den Satz von Dini oder den Satz über "die Supremumsnorm und die gleichmäßige Konvergenz der Funktionsfolgen"?
Gruss
Igor
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> Zeigen Sie , dass die folgende Funktionenreihe
> [mm]\summe_{i=n}^{\infty}[x^{n}(1-x)][/mm] , x [mm]\in \IR[/mm]
>
> auf dem Intervall [0,1] punktweise, aber nicht gleichmäßig
> konvergiert.
> Hallo,
Hey!
>
> dass die Funktionsreihe punktweise konvergiert, folgt aus
> der Konvergenz dieser Funktionsreihe für alle x [mm]\in[/mm] [0,1]
Den Satz verstehe ich nicht. Hast du die Grenzfunktion schon errechnet?
> .
> Jetzt muss man die gleichmäßige Konvergenz zeigen.
Du sollst zeigen, dass sie NICHT gleichmäßig konvergiert!
> Welcher Ansatz wäre hier am besten?
Mache eine Fallunterscheidung für x=1 und [mm] x\in [/mm] [0,1). Errechne damit die Grenzfunktion und dann siehst du recht schnell das diese nicht stetig ist. Da die Funktionenreihe aber stetig ist, kann sie nicht glm. konvergieren.
> Bzw. welchen Satz sollte man hier verwenden : den Satz
> von Dini oder den Satz über "die Supremumsnorm und die
> gleichmäßige Konvergenz der Funktionsfolgen"?
>
> Gruss
> Igor
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 26.10.2008 | | Autor: | Igor1 |
Ja , sorry, genau , nicht gleichmäßig konvergiert.
Zum Satz ganz oben :
Eine Funktionenfolge konvergiert genau dann punktweise , wenn sie normal konvergiert (für alle x aus Definitionsbereich). Das habe ich gemeint. Und die Folge der Partialsummen konvergiert normal , da die gegebene Reihe ist gleich (1-x)*die geometrische Reihe
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Was ist denn mit x=1, das musst du getrennt untersuchen! [mm] \summe_{i=1}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x} [/mm] gilt nur für [mm] |x|\red{<}1 [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 26.10.2008 | | Autor: | Igor1 |
Also zusammengefasst - für x [mm] \in [/mm] [0,1) gilt : Konvergenz der gegebenen Reihe . Für x=1 folgt [mm] \summe_{n=1}^{\infty}[1^{n} [/mm] * (1-1)] . Das konvergiert gegen 0.
Einverstanden ?
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> Also zusammengefasst - für x [mm]\in[/mm] [0,1) gilt : Konvergenz
> der gegebenen Reihe .
Ja und zwar gegen: [mm] \frac{1}{1-x}\codt{}(1-x) [/mm] = 1
> Für x=1 folgt
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[1^{n}[/mm] * (1-1)] . Das konvergiert
> gegen 0.
>
Genau!
> Einverstanden ?
Was schließt du daraus für die glm. Konvergenz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 So 26.10.2008 | | Autor: | Igor1 |
Daraus folgt, dass f an der Stelle x=1 unstetig ist.
Danke !
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