Reihe konvergent oder divergen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren oder divergieren.
e) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3n^7}{2^n} [/mm] |
Hi zusammen,
hier mal meine bisherige Rechnung:
Ich benutze das QK.
[mm] \bruch{3(n+1)^7}{2^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{2^n}{3n^7} [/mm] = [mm] \bruch{3(n+1)^7}{2^n+2^1} [/mm] * [mm] \bruch{2^n}{3n^7}
[/mm]
Ist [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n+2^1 [/mm] richtig ?
Dann habe ich die 3 gekürzt und [mm] 2^n
[/mm]
Dann habe ich folgendes:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)^7}{n^7}
[/mm]
Kann ich nun [mm] (n+1)^7 [/mm] = [mm] n^7 [/mm] + [mm] 1^7 [/mm] schreiben und dann [mm] n^7 [/mm] kürzen ?
Dann hätte ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] 1^7 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das korrekt ?
Ich habe Probleme mit dem kürzen bei Potenzen mit "+1" und "normalen" Potenzen und hoffe das meine Erklärung richtig ist.
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Hallo Bindl,
nein, so geht das nicht, wie Du doch auch leicht nachrechnen kannst: [mm] 2^7=128, 2^6=64.
[/mm]
Generell gilt [mm] x^a*x^b=x^{a+b} [/mm] Daraus kannst Du alles weitere herleiten.
Schau Dir lieber nochmal alle Regeln der Potenzrechnung an.
Übrigens ist das Quotientenkriterium hier genau das richtige, nur Deine Umformungen nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ok [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] * [mm] 2^1.
[/mm]
Muss ich für [mm] \bruch{(n+1)^7}{n^7} [/mm] bei [mm] n->\infty [/mm] gleich [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] = 1 ansehen ?
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Hallo,
> Hi,
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> ok [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * [mm]2^1.[/mm]
Joa.
>
> Muss ich für [mm]\bruch{(n+1)^7}{n^7}[/mm] bei [mm]n->\infty[/mm] gleich
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] = 1 ansehen ?
Um Himmels willen!!!
Los, wir schieben mal ein paar Zeichen hin und her
[mm] \frac{n}{n}\longrightarrow\frac{\infty}{\infty}=1
[/mm]
[mm] \frac{2n}{n}\longrightarrow\frac{\infty}{\infty}=1
[/mm]
...
Ne, also so gehts nicht!
Aber:
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^7}{n^7}=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\right)^7=\left(\lim_{n\to\infty}(1+1/n)\right)^7=1^7=1
[/mm]
Ich hoffe du verzeihst mir, aber: Es ist erschreckend, wie du mit deinen fürchterlichen Umformungen dennoch auf korrekte Ergebnisse gekommen bist! Und es ist erschreckend, dass du dich mit Reihen beschäftigst und dann dennoch meinst, dass [mm] (n+1)^7=n^7+1^7 [/mm] ist. Auh Backe!!!
Das sind Basics - die sollte man beherrschen. Auch, wenn man nahezu nix mit Mathe am Hut hat...
Was ist denn nun dein Resumee? Konvergenz oder Divergenz?
Liebe Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
mein Ergebnis ist [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Das ist kleiner 1 und somit ist die Reihe absolut konvergent.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mo 30.06.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Genau so ist es, Bindl.
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