Reihe mit PBZ des Kotangens < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Di 22.04.2008 | | Autor: | alexwie |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^2-1} [/mm] mit den Methoden des ersten Semesters und überprüfe das Ergebnis mit der Patialbruchzerlegung des Kotangens. |
Hallo!
Mit den Methoden des ersten Semesters sind Partialbruchzerlegung und erkennen einer Teleskopsumme gemeint. Das hab ich gemacht und erhalte den Reihenwert [mm] \bruch{3}{4}. [/mm]
Nun weiß ich aber nicht wie ich das mit der Partialbruchzerlegung des Kotangens rausbekommen soll. Denn ich kan ja nicht z=1 in [mm] \pi cot(\pi z)=\bruch{1}{z}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2z}{z^2-k^2} [/mm] einsetzten. ich habs auch mit [mm] z=\bruch{1}{2} [/mm] versucht half aber auch nicht.
Ich wäre für jeden Tipp dankbar
Lg Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Di 22.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Setze $z \ := \ 1$ und ziehe den Faktor $-2_$ vor die Summe.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Di 22.04.2008 | | Autor: | alexwie |
Danke für die schnelle Antwort.
Ich habe aber das Problem wenn ich z=1 setze dass erstens der erste term der summe nicht definiert ist und [mm] cot(\pi [/mm] ) auch nicht. Kann ich das irgenwie umgehen?
Lg Alex
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Hallo alexwie,
> Danke für die schnelle Antwort.
> Ich habe aber das Problem wenn ich z=1 setze dass erstens
> der erste term der summe nicht definiert ist und [mm]cot(\pi[/mm] )
> auch nicht. Kann ich das irgenwie umgehen?
Zerlege doch einfach so:
[mm]\bruch{1}{n^{2}-1}=\bruch{A}{n+1}+\bruch{B}{n-1}[/mm]
Das ist dann die Partialbruchzerlegung.
Wenn Du die Koeffizienten A und B bestimmt hast, dann siehste, daß bei der Summe so einiges wegfällt. Das ist dann Deine Teleskopsumme.
> Lg Alex
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Di 22.04.2008 | | Autor: | alexwie |
Danke Nochmal, aber das war eigentlich nicht mein Problem, denn das hab ich auch so gemacht. Es ist nur noch die Frage wie man dasgleiche unter der verwendung der Partialbruchzerlegung des Kotangens (also [mm] \pi cot(\pi x)=\bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2x}{x^2+k^2})
[/mm]
herleiten kann
Lg Alex
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Hallo alexwie,
> Danke Nochmal, aber das war eigentlich nicht mein Problem,
> denn das hab ich auch so gemacht. Es ist nur noch die Frage
> wie man dasgleiche unter der verwendung der
> Partialbruchzerlegung des Kotangens (also [mm]\pi cot(\pi x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2x}{x^2+k^2})[/mm]
> herleiten kann
Ich hab mit dazu was überlegt:
[mm]\pi*\cot\left(\pi*z\right)=\bruch{1}{z}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2z}{z^{2}-k^{2}}[/mm]
[mm]\gdw \pi*\cot\left(\pi*z\right)=\bruch{1}{z}+\bruch{2z}{z^{2}-1}+\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2z}{z^{2}-k^{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow \pi*\cot\left(\pi*z\right)-\bruch{2z}{z^{2}-1}=\bruch{1}{z}+\bruch{2z}{z^{2}-1}+\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2z}{z^{2}-k^{2}}[/mm]
Da [mm]\pi*\cot\left(\pi*z\right)-\bruch{2z}{z^{2}-1}[/mm] für [mm]z \to 1[/mm] die unbestimmte Form [mm]"\infty - \infty "[/mm] annimmt betrachte hier den Grenzwert. Falls dieser existiert gilt:
[mm]\limes_{z \rightarrow 1}{\left(\pi*\cot\left(\pi*z\right)-\bruch{2z}{z^{2}-1}}\right)=\bruch{1}{1}+\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{2*1}{1^{2}-k^{2}}[/mm]
So und nun viel Spaß beim Bestimmen des Grenzwertes.
> Lg Alex
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Di 22.04.2008 | | Autor: | alexwie |
Ja danke
Ich glaube das is ne gute Idee. Den Grenzwert ausrechnen is halt ein wenig kompliziert abr sollte funktionieren.
Lg Alex
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