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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Di 24.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Hallo! Ich bins mal wieder, mit meinen Reihen und Konvergenzen!
Dank Eurer Hilfe habe ich jetzt schon einiges eigenständig lösen können.
Hier eine Aufgabe bei der ich ein bisschen auf dem Schlauch stehe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n-\wurzel{n}}{(n+\wurzel{n})^2}
[/mm]
Ich habe mir dieses Teil angesehen und erstmal ausgeschlossen, dass ich hier mit dem Wurzelkriterium wohl nicht weiter komme. Ebenso kann man wohl Leibnitz auschließen. Es riecht verdächtig nach Vergleich- oder Quotientenkriterium.
Da man dem Teil nichts direktes entnehmen kann, habe ich mal einfach ein bisschen dran rumgebastelt und per 3. Binom erweitert:
[mm] \bruch{n-\wurzel{n}}{(n+\wurzel{n})^2} [/mm] = [mm] \bruch{(n-\wurzel{n})(n+\wurzel{n})}{(n+\wurzel{n})^3} [/mm] = [mm] \bruch{n^2-n}{(n+\wurzel{n})^3}
[/mm]
Ist jetzt auch nicht soviel schöner. Wenn man jetzt das Quotientenkriterium ansteuert, dann kommt da ein ziehmlich heftiger Term raus, den ich nicht ohne weiteres überblicken kann. Ich finde auch nichts, was man irgendwie sofort rauskürzen könnte. Am schönsten wäre es, wenn man den Term irgendwie umformen kann zu [mm] \bruch{1}{bla bla bla} [/mm] um das Vergleichskriterium (z.B. Vergleich mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] oder sowas) anzuwenden. Tja, kann mir jemand einen Tipp geben in welche Richtung ich gehen soll? Bin ich mit dem Erweitern auf der richtigen Spur? Gibt es irgendetwas geschicktes bei der Umformung, so das die ganze Sache irgendwie offensichtlich wird?
MfG
Mopetz
P.S.: Gibt es irgendwo im Netz eine schöne Sammlung mit Übungsaufgaben und dazugehörigen Lösungen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 24.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Mopetz,
Evtl. hilft es ja, dass die beiden Folgen [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $b_n=\frac{n^2-n}{(n+\sqrt{n})^3}$ [/mm] ein ähnliches Grenzverhalten haben. Da [mm] $\frac{b_n}{a_n} \to [/mm] 1$ heißt das doch, dass fast alle Folgeglieder von [mm] $b_n$ [/mm] beliebig dicht bei [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] liegen, also die Reihe divergiert.
Gruß Max
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