Reihe zusammenfassen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi !
Ich versuche hier gerade ein Problem aus der Kombinatorik zu vereinfachen und hab es bis zu folgender Reihe geschafft:
[mm] 0*5^{q}*\vektor{q \\ 0}+1*5^{q-1}*\vektor{q \\ 1}+2*5^{q-2}*\vektor{q \\ 2}+...+q*5^{q-q}*\vektor{q \\ q}
[/mm]
(Ich denke, dass nach Zusammenfassen [mm] \bruch{q*6^{q}}{6} [/mm] rauskommen, bin mir aber auch net sicher) Ich habe jetzt aber leider nicht die leiseste Ahnung, wie ich obige Reihe zusammenfassen kann, da wir Reihen im Schulunterricht auch nicht nicht durchgenommen haben. Ein paar Crashkurse konnten mir für obige Reihe auch nicht helfen...
Ich fänds toll, wenn mir jemand helfen kann !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bit2_Gosu!
Für die Ermittlung des Summenwertes kann ich Dir leider nicht weiterhelfen.
Aber Deine Summe kann man als Reihe / mit Summenzeichen wie folgt darstellen:
$$... \ = \ [mm] \summe_{i=0}^{q}i*5^{q-i}*\vektor{q\\i} [/mm] \ = \ [mm] 5^q*\summe_{i=0}^{q}i*\left(\bruch{1}{5}\right)^i*\vektor{q\\i}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Loddar,
mir fiel gerade auf, dass man auch die Identität
[mm] i \vektor{q \\ i} = q \vektor {q-1 \\ i-1}[/mm]
benutzen kann, dann wird die Summe zu einer Binomialsumme:
[mm] \summe_{i=0}^q 5^{q-i} q\vektor {q-1 \\ i-1} = q \summe_{j=0}^{q-1} 1^{j} * 5^{q-j-1} \vektor {q-1 \\ j} = q (1+5)^{q-1}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mi 05.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]0*5^{q}*\vektor{q \\ 0}+1*5^{q-1}*\vektor{q \\ 1}+2*5^{q-2}*\vektor{q \\ 2}+...+q*5^{q-q}*\vektor{q \\ q}[/mm]
Ich hätte da einen gemeinen Trick: Betrachte
[mm]0*x^{q}*\vektor{q \\ 0}+1*x^{q-1}*\vektor{q \\ 1}+2*x^{q-2}*\vektor{q \\ 2}+...+q*x^{q-q}*\vektor{q \\ q}[/mm]
Zusammengefasst:
[mm] \summe_{i=0}^q i x^{q-i} \vektor{q \\ i} = x^{q+1} \summe_{i=0}^q i x^{-i-1} \vektor{q \\ i} = - x^{q+1} \summe_{i=0}^q\bruch{d}{dx} x^{-i} \vektor{q \\ i} = - x^{q+1}\bruch{d}{dx} \summe_{i=0}^q x^{-i} \vektor{q \\ i}[/mm]
[EDIT: Ich hatte den Faktor q vergessen...]
Die Summe ganz rechts ist gerade [mm](1+x^{-1})^q[/mm], also ist der gesuchte Wert:
[mm] - x^{q+1}\bruch{d}{dx} \left(1+\bruch{1}{x}\right)^q = - x^{q+1} q \left(1+\bruch{1}{x}\right)^{q-1} * \bruch{-1}{x^2} = q (1+x)^{q-1}[/mm]
Du brauchst dann nur noch x=5 einzusetzen und bekommst in der Tat [mm]q*6^{q-1}[/mm] heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Erst mal -> Boah hammer ey !!
Vielen Dank, dass du dir sone Mühe gemacht hast !!!
Ich bin ehrlich gesagt ziemlich beeindruckt. Leider ist es jetzt zu spät um die Umformung richtig zu verstehen, ich guckst mir aber morgen Abend an !
Aber mal im ernst, du warst schon eher einer der besseren Studenten oder ?? Ich mein den Beweis verstehen.. ok. aber darauf kommen ????? Never ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Danke für die Blumen.... es liegt vermutlich daran, dass ich Programme zur Manipulation von Reihenentwicklungen geschrieben habe, dabei lernt man dann schon alle möglichen Tricks. 
Viele Grüße
Rainer
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