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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mo 25.09.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Untersuchen SIe die nachstehenden Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz:
a) [mm] a_{n}=n^2-n
[/mm]
[mm] b)a_{n}=sin\frac{n\pi}{4}
[/mm]
[mm] c)a_{n}=\frac{2^{3n}}{5^{2n+1}} [/mm] |
Hallo Leute,
ich frage mich ob das so reicht oder ob man da nocht formal argumentieren soll oder ob es halt andere Wege gibt?
a) [mm] a_{n}=n^2-n [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n^2-n [/mm] = [mm] \infty [/mm] die Folge ist monoton wachsend und konvergiert
[mm] b)a_{n}=sin\frac{n\pi}{4} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sin\frac{n\pi}{4}=0
[/mm]
Die FOlge ist beschränkt da sie gegen Null konvergiert.
[mm] c)a_{n}=\frac{2^{3n}}{5^{2n+1}} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{3n}}{5^{2n+1}}=ist [/mm] beschränkt da sie gegen 1 konvergiert
hierzu hätte ich noch ne Frage wie oder ob man das irgendwie wegkürzen oder ausklammern könnte damit das Ergebnis gleich sieht. hab das nur durch einsetzten grob abgeschätzt.
Vielen Dank für eure HIlfe
gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a)
(Streng) monoton wachsend, ok.
Aber konvergieren und keinen Grenzwert haben? Nein.
Eine Folge ist ist konvergent, wenn sie beschränkt (oben und unten!) und monoton ist. Aber nach oben hin ist sie nicht beschränkt!
b)
Die Sinusfunktion ist doch periodisch! Sie schwankt also immer zwischen 1 und -1. Divergent und insgesamt nicht monoton.
c)
[mm] a_{n}=\frac{2^{3n}}{5^{2n+1}}
[/mm]
Potenzgesetze :)
[mm] a^{m+n}=a^{m}*a^{n} [/mm] und [mm] a^{m*n}=(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}
[/mm]
[mm] \bruch{2^{3n}}{5^{2n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2^{3n}}{5^{2n}*5}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{5}*\bruch{2^{3n}}{5^{2n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{5}*\bruch{(2^{3})^{n}}{(5^{2})^{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{5}*(\bruch{2^{3}}{5^{2}})^{n}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{5}*(\bruch{8}{25})^{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{8}{25})^{n}=0
[/mm]
Also geht der ganze Bruch für [mm] n->\infty [/mm] gegen 0 und damit auch die ganze Folge!
Monoton, ja (streng fallend), beschränkt auch -> konvergent!
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