Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Zeige : Die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert genau dann absolut, wenn
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+a_n}
[/mm]
absolut konvergiert.
b) Finde ein Gegenbeispiel zu a), wenn auf beiden Seiten das Adverb absolut
weggelassen wird. |
Hallo liebes Team;
mir fehlt eine "zündene" Idee.
Meine Notizen sehen so aus:
Voraussetzung:(*) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+a_n} [/mm] konvergiert absolut
Behauptung:(*)=> [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert absolut
[mm] Beweis:\summe_{i=1}^{\infty}\frac{a_n}{1+a_n} [/mm] konvergiert [mm] absolut=>\summe_{i=1}^{\infty}|\frac{a_n}{1+a_n} [/mm] |konvergiert
Ab hier komme ich leider nicht weiter.......
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
EDIT: Da der folgende Autor mich sehr freundlich darauf aufmerksam gemacht hat, dass meine Idee nicht korrkt ist, habe ich sie gelöscht, vielen Dank für den Hinweis, und die Bitte, auch eine Idee zu äußern.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Die Teilkonvergenz, also das was du zuletzt geschrieben
> hast, ist schon mal ein guter Ansatzpunkt.
Teilkonvergenz ????
> Frage: Gegen was konvergiert die Folge?
Wir sind bei Reihen !!
> Sehen wir uns die Folge an,das ist eine andere:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i}[/mm]
> Die Folge konvergiert gegen [mm]\infty[/mm]
> Im Prinzip ist das zu Zeigende ähnlich.
Wers glaubt wird seelig
> Im übrigen würde ich sagen, die Bedingung gilt, und dann
> das andere zeigen.
Wie bitte ?
>Ich weiß zwar nicht genau, was ihr
> hattet, aber überlege mal, ob die untere Folge eine
> Teilfolge der Oberen ist.
Unfug
> Dann konvergiert die Folge nämlich.
Mit Verlaub, aber was Du da geschrieben hast, ist völliger Blödsinn
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
Ja, stimmt, Einwand wurde berücksichtigt. Vielen Dank!
Viele Grüße,
Dath
|
|
|
| |
|
hallo
also als erstes soll gesagt sein dass da "genau dann wenn" steht.
du musst also hin- und rückrichtung zeigen.
die hinrichtung dürfte nicht schwer sein.
du kannst dir in beiden fällen überlegen was du für [mm] a_n [/mm] fordern musst, damit die vorraussetzung erfüllt ist. dann überlege mal ob das für die jeweils andere folge auch zutrifft.
betrachte die folge [mm] b_n=a_n/(1+a_n).
[/mm]
überleg dir genau was absolute konvergenz heißt, und was es fordert!
gruß mOe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> hallo
>
> also als erstes soll gesagt sein dass da "genau dann wenn"
> steht.
> du musst also hin- und rückrichtung zeigen.
> die hinrichtung dürfte nicht schwer sein.
Elektrischer Stuhl ? Spritze ? oder Kopf ab ?
Bitte lasst solche Geschmacklosigkeiten wie "Hinrichtung".
> du kannst dir in beiden fällen überlegen was du für [mm]a_n[/mm]
> fordern musst, damit die vorraussetzung erfüllt ist. dann
> überlege mal ob das für die jeweils andere folge auch
> zutrifft.
> betrachte die folge [mm]b_n=a_n/(1+a_n).[/mm]
> überleg dir genau was absolute konvergenz heißt, und was
> es fordert!
Toller Tipp !
Heißt es denn etwas anderes, als es fordert ?
FRED
>
> gruß mOe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
So, dann will ich mal der Aufforderung von Dath nachkommen und eine Idee (Lösung) beisteuern:
Setzen wir mal die absolute Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] voraus.
Dann ist [mm] (|a_n|) [/mm] eine Nullfolge, also ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n| \le [/mm] 1/2 für n>N.
Es folgt: 1/2 [mm] \le 1-|a_n| \le |1+a_n|, [/mm] also [mm] \bruch{1}{|1+a_n|} \le2 [/mm] für n>N.
Somit: [mm] \bruch{|a_n|}{|1+a_n|} \le 2|a_n| [/mm] für n>N.
Mit dem Majorantenkrit. folgt die Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{|a_n|}{|1+a_n|}.
[/mm]
Umgekehrt: sei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{|a_n|}{|1+a_n|} [/mm] konvergent.
Dann ist [mm] (|a_n|) [/mm] eine Nullfolge (warum ?)
Also ex. N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] |1+a_n| \le [/mm] 2 für n>N. Dann gilt: [mm] |a_n| \le [/mm] 2 [mm] \bruch{|a_n|}{|1+a_n|} [/mm] für n> N. Das majorantenkrit. zeigt nun die Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_n| [/mm] .
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Dath |
Sehr schön, das ist so erläutert, dass ich es auch ohne nennenswerte Vorbildung verstanden habe!
Viele Grüße,
Dath
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mo 08.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Merci
FRED
|
|
|
|
