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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2^{n+1}}{n!} [/mm] |
Ich Versuche gerade die Summe dieser Reihe zu berechnen und finde keinen Ansatz wie ich das am besten geschickt umschreiben kann.
Das war irgendwie mein Ansatz bin dann aber nicht wirklich weitergekommen..
[mm] \bruch{2^{n}*2}{n!}
[/mm]
Meine Idee für den Nenner wäre es in n*(n-1)! umzuschreiben.
Kann mir jemand grad mal einen Tipp gibt :) ?
Lg
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Hallo Maria,
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2^{n+1}}{n!}[/mm]
> Ich Versuche
> gerade die Summe dieser Reihe zu berechnen und finde keinen
> Ansatz wie ich das am besten geschickt umschreiben kann.
> Das war irgendwie mein Ansatz bin dann aber nicht wirklich
> weitergekommen..
> [mm]\bruch{2^{n}*2}{n!}[/mm]
> Meine Idee für den Nenner wäre es in n*(n-1)!
> umzuschreiben.
>
> Kann mir jemand grad mal einen Tipp gibt :) ?
Ja 
Bedenke [mm] $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
[/mm]
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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Ahhhhh, jetzt wo dus sagst erkenn ich das auch irgendwie wieder :)
Dann komme ich ja wenn ich das einsetze auf
[mm] 2*e^2 [/mm] ??
Und davon muss ich dann ja noch das 1. Summenglied abziehen weil die reihe ja bei 2 startet?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mo 12.01.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^{n+1}}{n!} [/mm] = [mm] 2\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{2^{n}}{n!} [/mm] = [mm] 2(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^{n}}{n!} [/mm] -1-2) = [mm] 2(e^2-3)
[/mm]
FRED
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> [mm]2(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^{n}}{n!}[/mm] -1-2) =
Ähmm wie kommst du auf die -1-2 ? Ich komm einfach nicht drauf... :(
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Hallo nochmal,
>
> > [mm]2(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2^{n}}{n!}[/mm] -1-2) =
>
> Ähmm wie kommst du auf die -1-2 ? Ich komm einfach nicht
> drauf... :(
Na, du hattest doch schon in der Frage zuvor die richtige Idee:
Der Laufindex bei dir geht erst bei $n=2$ los, bei der
"Original-Exponentialreihe" bei $n=0$, da musst du neben dem Summanden für $n=0$, also [mm] $\frac{2^0}{0!}=1$ [/mm] auch noch den für $n=1$ abziehen, also [mm] $\frac{2^1}{1!}=2$
[/mm]
*klingeling*
LG
schachuzipus
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Okk, jetzt ists klar.
Ich bin die ganze Zeit davon ausgegangen dass 0! = 0 ist und nicht 1 :)
Wieso ist denn 0! = 1 ??
Danke!
Lg
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Hallo Marry!
Das ist Definitionssache; d.h. wurde so definiert (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier).
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Ok ich hätte noch 2 kleine Fragen zu Reihen zum Quotienten bzw. Majorantenkriterium und folgenden Aufgaben :
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n} [/mm] |
Hallo, würde da grad mal jemand drüber schaun ob ich das richtig verstanden hab?
a)
Hier komme ich auf :
[mm] \bruch{(n+1)! * n^n}{(n+1)^{n+1}*n!}
[/mm]
[mm] \bruch{n!(n+1) * n^n}{(n+1)^{n}*(n+1) n!}
[/mm]
Nach dem kürzen bleibt dann da stehen
[mm] \bruch{n^n}{(n+1)^n}
[/mm]
Was ja immer kleiner als 1 ist.
b)
Zuerst den Nenner ausmultiplizieren
[mm] \bruch{1}{n^3+2*n^2+n^2+2n}
[/mm]
Und dann das Majorantenkriterium anwenden denn unser Bruch ist immer kleiner als [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] und konvergiert deswegen
c)
Quotientenkriterium :
[mm] \bruch{(n+1)^2*2^n}{2^{n+1}*n^2}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^2*2^n}{2^{n}*2*n^2}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^2}{2*n^2}
[/mm]
Hier bin ich mir jetzt unsicher wie ich weitermachen soll?
Wenn ich oben ausmultiplizier komme bleibt da stehen
[mm] \bruch{n^2+2n+1}{2n^2}
[/mm]
Lg
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> Ok ich hätte noch 2 kleine Fragen zu Reihen zum Quotienten
> bzw. Majorantenkriterium und folgenden Aufgaben :
> a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}[/mm]
> Hallo, würde da
> grad mal jemand drüber schaun ob ich das richtig verstanden
> hab?
> a)
>
> Hier komme ich auf :
> [mm]\bruch{(n+1)! * n^n}{(n+1)^{n+1}*n!}[/mm]
> [mm]\bruch{n!(n+1) * n^n}{(n+1)^{n}*(n+1) n!}[/mm]
>
> Nach dem kürzen bleibt dann da stehen
> [mm]\bruch{n^n}{(n+1)^n}[/mm]
> Was ja immer kleiner als 1 ist.
Hallo,
damit ist es nicht getan. Du mußt fürs Quotientenkriterium eine konkrete Zahl angeben, unterhalb derer [mm] \bruch{n^n}{(n+1)^n} [/mm] bleibt, bzw. glaubhaft versichern können, daß nicht etwa 1 der Grenzwert ist.
>
> b)
> Zuerst den Nenner ausmultiplizieren
> [mm]\bruch{1}{n^3+2*n^2+n^2+2n}[/mm]
> Und dann das Majorantenkriterium anwenden denn unser Bruch
> ist immer kleiner als [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] und konvergiert
> deswegen
Dem folge ich.
>
> c)
> Quotientenkriterium :
> [mm]\bruch{(n+1)^2*2^n}{2^{n+1}*n^2}[/mm]
> [mm]\bruch{(n+1)^2*2^n}{2^{n}*2*n^2}[/mm]
> [mm]\bruch{(n+1)^2}{2*n^2}[/mm]
> Hier bin ich mir jetzt unsicher wie ich weitermachen
> soll?
> Wenn ich oben ausmultiplizier komme bleibt da stehen
> [mm]\bruch{n^2+2n+1}{2n^2}[/mm]
und der Grenzwert =1, so daß Dir das Quotientenkriterium keine Information liefert.
Mit dem Wurzelkriterium wirst Du hier glücklicher..
EDIT: [mm]\bruch{n^2+2n+1}{2n^2}[/mm]= [mm] \bruch{1+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{2} [/mm] , also ist der Grenzwert =???
Bzw. falls Du das Quotientenkriterium ohne Grenzwert benutzt: Du kannst eine Zahl <1 angeben, unterhalb derer der Quotient für fast alle n bleibt.
Gruß v. Angela
>
> Lg
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> damit ist es nicht getan. Du mußt fürs Quotientenkriterium
> eine konkrete Zahl angeben, unterhalb derer
> [mm]\bruch{n^n}{(n+1)^n}[/mm] bleibt, bzw. glaubhaft versichern
> können, daß nicht etwa 1 der Grenzwert ist.
Ähm, wie mach ich das denn am besten? Einfach eine Zahl einsetzen?
Lg
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> > damit ist es nicht getan. Du mußt fürs Quotientenkriterium
> > eine konkrete Zahl angeben, unterhalb derer
> > [mm]\bruch{n^n}{(n+1)^n}[/mm] bleibt, bzw. glaubhaft versichern
> > können, daß nicht etwa 1 der Grenzwert ist.
>
> Ähm, wie mach ich das denn am besten? Einfach eine Zahl
> einsetzen?
>
> Lg
Hallo,
das wäre eine schlechte Idee, denn Du wärest bis anDein Lebensende und darüber hinaus mit dem Einsetzen immer größerer natürlicher Zahlen beschäftigt.
Vielleicht fällt Dir ja zu [mm] \lim \bruch{n^n}{(n+1)^n}= \lim (1+\bruch{-1}{(n+1)})^n= \lim (1+\bruch{-1}{(n+1)})^{n+1}*\bruch{n+1}{n} [/mm] etwas ein.
Gruß v. Angela
P.S.: Beachte, daß ich meine Antwort von zuvor aufgrund eines Hinweises des allgegenwärtigen Loddars editiert habe.
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Ich habe mir das alles jetzt nochmal angeschaut und wollte jetzt nur sichergehen ob ich es richtig verstanden habe.
$ [mm] (\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{4^{n+2}}{n!}) [/mm] $
Das wäre doch dann
$ [mm] (\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{4^{n}*16}{n!}) [/mm] $
$ [mm] 16*(\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{4^{n}}{n!}) [/mm] $
Jetzt :
$ [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{4^{n}}{n!}) [/mm] - [mm] \bruch{4^0}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{4^1}{1!} [/mm] $
Und das ergibt dann [mm] 16*(e^4 [/mm] - [mm] \bruch{4^0}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{4^1}{1!})
[/mm]
Das stimmt doch oder? 
Lg
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Hallo Marry!
Das sieht gut aus. Nun noch zusammenfassen ...
Gruß vom
Roadrunner
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Und das ergibt dann $ [mm] 16\cdot{}(e^4 [/mm] $ - $ [mm] \bruch{4^0}{0!} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{4^1}{1!}) [/mm] $
Das ist dann : [mm] 16(e^4 [/mm] -1 - 4)
[mm] 16(e^4-5) =16e^4 [/mm] - 80
Mal noch etwas ganz anderes so nebenbei. Kann man sich hier irgendwie erkenntlich zeigen? Das würd ich nämlich gerne tun! Ich glaub ohne dieses Forum würde ich die Klausur nicht schaffen...
Lg
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Hallo Marry!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Korrekt!
> Mal noch etwas ganz anderes so nebenbei. Kann man sich hier
> irgendwie erkenntlich zeigen? Das würd ich nämlich gerne
> tun! Ich glaub ohne dieses Forum würde ich die Klausur
> nicht schaffen...
Ein leibes "Danke schön!" ist uns Brot und Lohn genug. Aber wenn Du natürlich noch mehr tun möchtest, kann ich ja mal dezent auf unsere Spendenseite (für die Serverkosten) hinweisen.
Ansonsten sind natürlich Kaffee und Kuchen auch jederzeit sehr willkommen.
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Marry2605 |
Dann mal ein liebes "Danke schön"
Kuchen hätt ich sogar hier ;) ... Aber ich werde wohl eher dem Forum eine Spende zukommen lassen...
Lg
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Ok, ich habe doch noch 2 kleine Fragen zu den Reihen.
Und zwar zum Minorantenkriterium:
Majorantenkriterium ist klar
Jetzt umgekehrt wenn ich zeigen will dass die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n^2+1}{n^3+2}
[/mm]
divergent ist Suche ich mir doch einfach eine Folge die kleiner ist als meine Folge welche divergiert wie z.b. [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Kann ich das dann einfiach so hinschreiben oder muss ich da noch was machen?
Lg
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Hallo Maria,
> Ok, ich habe doch noch 2 kleine Fragen zu den Reihen.
>
> Und zwar zum Minorantenkriterium:
> Majorantenkriterium ist klar
> Jetzt umgekehrt wenn ich zeigen will dass die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{n^2+1}{n^3+2}[/mm]
> divergent ist Suche ich mir doch einfach eine Folge die
> kleiner ist als meine Folge welche divergiert wie z.b.
> [mm] $\red{\sum}\bruch{1}{n}$
[/mm]
Ganz genau!
>
> Kann ich das dann einfiach so hinschreiben oder muss ich da
> noch was machen?
Du musst die Abschätzung schon konkret durchführen und so die (div.) Minorante angeben
Zum Verkleinern eines Bruches kannst du den Zähler verkleinern und/oder den Nenner vergrößern
Bei dir also [mm] $\sum\bruch{n^2\red{+1}}{n^3+2} [/mm] \ > \ [mm] \sum\bruch{n^2}{n^3+2}$
[/mm]
Zähler verkleinert (-1)
Nun noch den Nenner vergrößern:
[mm] $\sum\bruch{n^2}{n^3\red{+2}} [/mm] \ > \ [mm] \sum\bruch{n^2}{n^3\red{+n^3}} [/mm] \ = \ [mm] \sum\bruch{n^2}{2n^3} [/mm] \ = \ [mm] \sum\bruch{1}{2n} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\sum\bruch{1}{n}$
[/mm]
Damit hast du deine divergente Minorante
> Lg
Gruß
schachuzipus
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Ok, das hat geklappt
Dankeschön!
Ich hab noch eine Klausuraufgabe gefunden und die noch gerechnet....
[mm] \bruch{n}{(n+1)!}
[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium komme ich auf :
[mm] \bruch{(n+1) * (n+1)!}{(n+2)! * n}
[/mm]
Jetzt im Nenner (n+2)! umschreiben
[mm] \bruch{(n+1) * (n+1)!}{(n+1)!*(n+2) * n}
[/mm]
Jetzt (n+1)! kürzen und alles ausmultiplizieren
[mm] \bruch{n+1}{n^2+2n}
[/mm]
Darauf dann einfach den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] was mir dann zeigt das das ganze gegen Null geht also konvergent ...
Lg
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Hallo Maria,
> Ok, das hat geklappt
> Dankeschön!
>
> Ich hab noch eine Klausuraufgabe gefunden und die noch
> gerechnet....
> [mm] $\red{\sum}\bruch{n}{(n+1)!}$
[/mm]
> Mit dem Quotientenkriterium komme ich auf :
> [mm]\bruch{(n+1) * (n+1)!}{(n+2)! * n}[/mm]
> Jetzt im Nenner (n+2)!
> umschreiben
> [mm]\bruch{(n+1) * (n+1)!}{(n+1)!*(n+2) * n}[/mm]
> Jetzt (n+1)!
> kürzen und alles ausmultiplizieren
> [mm]\bruch{n+1}{n^2+2n}[/mm]
> Darauf dann einfach den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] was
> mir dann zeigt das das ganze gegen Null geht also
> konvergent ...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
So ist es!
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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