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Hallo,
so zur Auffrischung habe ich mal wieder ein paar Folgen und Reihen durchgekaut,bei ein paar komme ich aber so gar nicht voran, da fehlt mir noch eine Idee.
a) Behauptung:
[mm] \limes_{n \to \infty}(1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}-...+(-\bruch{1}{2})^{n})=\bruch{2}{3}.
[/mm]
b) Behauptung:
[mm] \limes_{n \to \infty}((1-\bruch{1}{2})(1-\bruch{1}{3})...(1-\bruch{1}{n}))=0
[/mm]
zu a) ist mir aufgefallen, dass da die Summe der geraden Glieder stehenbleibt (jedenfalls am Anfang):
[mm] (1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{8}+\bruch{1}{16}-\bruch{1}{32}+...=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}...
[/mm]
Aber das hilft mir, glaube ich auch nicht weiter.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das sinnvoll aufschreiben, umformen oder erweitern kann?
gruß, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Sa 19.03.2005 | | Autor: | felixs |
morgen
> [mm]\limes_{n \to \infty}(1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}-...+(-\bruch{1}{2})^{n})=\bruch{2}{3}.
[/mm]
das hier ist ganz einfach wenn du [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}$ [/mm] verwendest. gilt fuer $|q|<1$.
> [mm]\limes_{n \to \infty}((1-\bruch{1}{2})(1-\bruch{1}{3})...(1-\bruch{1}{n}))=0
[/mm]
das kannst du schreiben als
[mm] $\limes \produkt_{i=2}^n \frac{i-1}{i}$
[/mm]
da fliegt dann alles bis auf [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] raus...
gruss
--felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
> Hallo,
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...
>[mm](1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{8}+\bruch{1}{16}-\bruch{1}{32}+...=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32}...
[/mm]
> Aber das hilft mir, glaube ich auch nicht weiter.
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das sinnvoll
> aufschreiben, umformen oder erweitern kann?
>
> gruß, dancingestrella
>
Hallöle,
felixs hat Dir schon eine einfache Lösung angeboten. Deine Umformung ist zwar ein Schritt mehr an Aufwand, führt aber zum gleichen Ergebnis (wär' ja auch seltsam, wenn nicht).
Du hast umgeformt zu [mm] $\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{1}{4^{k}}}$. [/mm] Die Formel für geometrische Reihen (siehe felixs) drauf loslassen .. et voilá.
Ich schreibe dies eigentlich nur, weil ich Dich ermuntern möchte, stets ein waches Auge für sog. Teleskopsummen zu haben, in denen sich zwei oder mehr aufeinander folgende Summanden vereinfachend zusammenfassen lassen (ich stieß z.B. kürzlich auf [mm] \summe_{k=1}^{n}{(\wurzel{k}-\wurzel{k-1})}.
[/mm]
Gruß,
Peter
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Hallo,
ja mit den Tipps ging das natürlich prima, auch andere ähnliche Reihen konnte ich nun lösen, danke 
Gruß, dancingestrella
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