Reihen - Definitionsfrage < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Sa 01.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo zusammen,
Gegeben seine eine unendliche Reihe [mm] S=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k} =\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}a_{k}
[/mm]
Jetzt nehmen wir an, die Folge der Partialsummen [mm] s_{n}=\summe_{k=0}^{n}a_{k} [/mm] konvergiert gegen einen Grenzwert a.
Dann gilt natürlich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}a_{k} [/mm] = a (1)
und dementsprechend:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k} [/mm] = a (2)
Man schreibt auch oft (salopp):
[mm] a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...=a [/mm] (3)
(1) bedeutet einfach, was man sich unter einem Grenzwert vorstellt, nämlich dass sich die Folge [mm] (s_{n}) [/mm] beliebig nahe an a annähert für wachsendes n (oder eben die exakte math. Definition).
Unter (2) versteht man dann dementsprechend auch den Grenzwert (per Definition) und nicht wirklich eine Summierung der Folgeglieder von 0 bis [mm] \infty.
[/mm]
Und bei (3) ist es dann das Gleiche, man meint eigentlich eine Grenzwertbildung und eben nicht, dass man jedes einzelne Folgeglied von 0 bis [mm] \infty [/mm] aufsummiert und wenn man damit dann "fertig ist" a als Ergebnis erhält.
In Kurzform: Der Wert einer unendlichen Summe ist definiert über den Grenzwert ihrer Partialsummen, weil man eben nicht alle Folgenglieder von 0 bis [mm] \infty [/mm] "einfach aufsummieren" kann.
Diese Definition macht natürlich Sinn, weil der Grenzwert einer unendlichen Summe (sofern ex.) derjenige Wert ist, dem sie sich beliebig annähert.
Sehe ich das richtig?
LG,
freimann
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
>
> Gegeben seine eine unendliche Reihe
> [mm]S=\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}[/mm]
welche Bedeutung hat denn bei Dir hier schon [mm] $S\,$? $S\,$ [/mm] als Platzhalter für die Folge der Teilsummen [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}$? [/mm] Also grob gesagt: [mm] $S=(s_n)_n$? [/mm]
Allerdings hier:
> Dann gilt:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k} =\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}a_{k}[/mm]
Das kann man so nicht einfach sagen. Denn das gilt natürlich dann und nur dann, wenn der Grenzwert rechterhand auch existiert. Aber manche Autoren bzw. manche Mathematiker sagen auch, dass sie das "Limes-Zeichen" eh nur dann verwenden wollen, wenn der entsprechende Grenzwert existiert. Also [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] wird dann nur dann geschrieben, wenn der Grenzwert auch existiert.
> Jetzt nehmen wir an, die Folge der Partialsummen
> [mm]s_{n}=\summe_{k=0}^{n}a_{k}[/mm] konvergiert gegen einen
> Grenzwert a.
>
> Dann gilt natürlich:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}a_{k}[/mm] = a (1)
>
> und dementsprechend:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}[/mm] = a (2)
>
> Man schreibt auch oft (salopp):
> [mm]a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...=a[/mm] (3)
>
> (1) bedeutet einfach, was man sich unter einem Grenzwert
> vorstellt, nämlich dass sich die Folge [mm](s_{n})[/mm] beliebig
> nahe an a annähert für wachsendes n (oder eben die exakte
> math. Definition).
>
> Unter (2) versteht man dann dementsprechend auch den
> Grenzwert (per Definition) und nicht wirklich eine
> Summierung der Folgeglieder von 0 bis [mm]\infty.[/mm]
>
> Und bei (3) ist es dann das Gleiche, man meint eigentlich
> eine Grenzwertbildung und eben nicht, dass man jedes
> einzelne Folgeglied von 0 bis [mm]\infty[/mm] aufsummiert und wenn
> man damit dann "fertig ist" a als Ergebnis erhält.
>
> In Kurzform: Der Wert einer unendlichen Summe ist definiert
> über den Grenzwert ihrer Partialsummen, weil man eben
> nicht alle Folgenglieder von 0 bis [mm]\infty[/mm] "einfach
> aufsummieren" kann.
> Diese Definition macht natürlich Sinn, weil der Grenzwert
> einer unendlichen Summe (sofern ex.) derjenige Wert ist,
> dem sie sich beliebig annähert.
>
> Sehe ich das richtig?
>
Ich denke, es ist einfach besser, wenn ich es nochmal einzeln aufrolle: Und zwar wird das eigentlich meist so verwendet:
Gegeben sei irgendeine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] und um es uns ein wenig praxisnaher zu machen, gehen wir jetzt einfach mal davon aus, dass es irgendeine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] oder "nur" [mm] $\IR$ [/mm] ist.
Wir betrachten nun die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN_0}\,.$ [/mm] (Genauer müßte man eigentlich sagen: [mm] $(s_n(a))_{n \in \IN_0}\,,$ [/mm] denn [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] ist (hier) ja nix anderes als eine Abbildung $a: [mm] \IN_0 \to \IC$ [/mm] mit [mm] $a_n:=a(n)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Die Folge [mm] $(s_n)_n$ ($\leftarrow$ das ist hier nur die Kurzschreibweise für $(s_n)_{n \in \IN_0}$) hängt also von der Abbildung $a\,$ ab.)
Diese sei definiert durch
$$s_n:=\sum_{k=0}^n a_k\;\;\;(n \in \IN_0)\,.$$
Unabhängig davon, ob die Folge $(s_n)_n$ nun (gegen eine Zahl aus $\IC$) konvergiert oder (auch bestimmt gegen $\pm \infty$) divergiert, also unabhängig vom Konvergenzverhalten der Folge $(s_n)_n\,,$ wird das Symbol $\sum_{k=0}^\infty a_k$ ($\leftarrow$ ich schreibe nun im Folgenden dafür oft auch kurz $\sum a_k$) für die Teilsummenfolge $(s_n)_n$ verwendet, d.h.
$$\sum_{k=0}^\infty a_k :\equiv (s_n)_{n \in \IN_0}\,.$$
Und nun kommt diesem Symbol eine gewisse Doppeldeutigkeit zu - diese kann es aber nur dann geben, wenn $\sum a_k$ konvergiert:
Wenn $\sum a_k$ konvergiert, dann kann $\sum_{k=0}^\infty a_k \equiv (s_n)_{n \in \IN_0}$ neben dieser Bedeutung (Platzhalter für die entsprechende Teilsummenfolge) auch eine weitere Bedeutung zukommen, nämlich die Bedeutung des Grenzwertes (wobei man meist auch $\pm \infty$ zuläßt):
$$\sum_{k=0}^\infty a_k :=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k\,.$$
Welche Bedeutung nun $\sum a_k$ dann jeweils hat, ergibt sich aus dem Zusammenhang, und sollte, falls dies mal nicht der Fall ist, explizit erwähnt werden.
Also bspw. könnte man sagen - und in dem folgenden Bsp. ist klar, wann $\sum a_k$ welche Bedeutung jeweils hat:
Die Reihe $\blue{\sum_{k=0}^\infty (1/2)^k}$ konvergiert gegen $\red{\sum_{k=0}^\infty (1/2)^k}=2\,.$
Hier ist klar, dass das blaue $\blue{\sum a_k}$-Zeichen nur die Bedeutung von $(s_n)_n$ einnehmen kann, während das rote $\red{\sum a_k}$-Zeichen gerade für $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k$ steht.
Und diese saloppe Schreibweise $a_0+a_1+a_2+\ldots$ sehe ich eigentlich meist dann, wenn man, sofern eine konvergente Reihe vorliegt, den Grenzwert meint. Aber eigentlich ist $a_0+a_1+a_2+\ldots$ meines Wissens nach nur eine "weniger symbolische" Schreibweise für $\sum a_k\,,$ so dass man dieser Notation eigentlich genauso den ggf. beiden Bedeutungen von $\sum a_k$ zukommen läßt. Jedenfalls habe ich sowohl schon gelesen:
"Untersuchen sie die Reihe $1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+\ldots$ auf Konvergenz..."
wobei hier logischerweise einfach nur die Folge der Teilsummen gemeint ist,
"... und geben sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert $1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+\ldots$ an."
wobei im letzten Falle natürlich der Grenzwert der konvergenten Reihe gemeint ist. (Die Reihe $\sum (1/2)^k$ konvergiert ja bekanntlich gegen $\sum (1/2)^k=1/(1-(1/2))=2\,.$)
Gruß,
Marcel
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 So 02.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo Marcel,
Danke für Deine ausführliche Antwort!
Das mit der Doppeldeutigkeit von [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k} [/mm] war mir bewusst, dass hätte ich erwähnen sollen, sorry!
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k} =\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}a_{k}
[/mm]
Das war, soweit ich mich erinnern kann, eine Definition bei uns. Mit der linken Seite ist hier der Grenzwert der Folge der Partialsummen gemeint.
Mit [mm] a_0+a_1+a_2+\ldots [/mm] meint man also entweder die Folge der Partialsummen oder deren Grenzwert?
D.h.: Schreibt man
[mm] 1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+\ldots [/mm] = 2,
dann soll das heißen:
[mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n (1/2)^k [/mm] =2
und nicht:
Summiert man [mm] (1/2)^k [/mm] von k=0 bis [mm] k=\infty [/mm] auf, so erhält man 2.
Entsprechend ist dann mit Ausdrücken wie
[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=A (A_i [/mm] und A Mengen)
auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^{n}A_i=A [/mm] gemeint?
LG
freimann
|
|
|
| |
|
Huhu,
den Summenkram überlass ich mal Marcel.
Ist immer gut, wenn thematisch nur einer dran arbeitet 
> Entsprechend ist dann mit Ausdrücken wie
> [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=A (A_i[/mm] und A Mengen)
> auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^{n}A_i=A[/mm]
> gemeint?
Hier stellt sich doch erstmal die Frage: Was ist überhaupt der Grenzwert von Mengen?
Du wirst dann feststellen, dass der Ausdruck [mm] $\lim_{n\to\infty}$ [/mm] bei Mengen nur eine Schreibweise ist, damit man das analog zu "normalen" Folgen hinschreiben kann.
D.h. jeder Grenzwert einer Folge von Mengen lässt sich nachher ja schreiben als [mm] \bigcup [/mm] oder [mm] \bigcap [/mm] und das ist eindeutig definiert.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 02.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo Gonozal_IX,
Wenn ich lese
[mm] A_1\cup A_2\cup A_3\cup... [/mm] = A oder
[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] = A
dann steckt da doch immer eine Grenzwertbildung mit drin.
Denn wie soll man [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] sonst bilden?
Desshalb verstehe ich [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] als Grenzwert einer Folge von Mengen. Die Folge von Mengen sieht so aus: [mm] (a_k)_{k\in\IN} [/mm] wobei
[mm] a_k=\bigcup_{i=1}^{k}A_i
[/mm]
Und desshalb:
[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^{n}A_i
[/mm]
Falls ich das falsch sehe, ist es glaube ich am Besten, wenn mir jemand erklärt, wie der Ausdruck
[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm]
definiert ist.
LG
freimann
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Wenn ich lese
> [mm]A_1\cup A_2\cup A_3\cup...[/mm] = A oder
> [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] = A
>
> dann steckt da doch immer eine Grenzwertbildung mit drin.
> Denn wie soll man [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] sonst bilden?
> Desshalb verstehe ich [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] als
> Grenzwert einer Folge von Mengen. Die Folge von Mengen
> sieht so aus: [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] wobei
> [mm]a_k=\bigcup_{i=1}^{k}A_i[/mm]
> Und desshalb:
> [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^{n}A_i[/mm]
Hier steht immer noch die Frage im Raum: Was ist denn der Grenzwert einer Mengenfolge definiert?
Und genau da kommst du in Schwulitäten.
[mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm]
ist faktisch nichts weiter als ein Symbol, mit dem man wie folgt umgeht:
$a [mm] \in \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\quad \gdw\quad \exists\,n\in\IN: [/mm] a [mm] \in \bigcup_{i=1}^{n}A_i$
[/mm]
> Falls ich das falsch sehe, ist es glaube ich am Besten,
> wenn mir jemand erklärt, wie der Ausdruck
> [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm]
> definiert ist.
Hab ich ja eben getan 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 02.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo Gonozal_IX,
dann hat [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] also erstmal garnichts mit einer Grenzwertbildung zu tun.
Mit einer Definition von einem Grenzwert einer Folge von Mengen kann ich nicht dienen, da wir das nie definiert hatten.
Bei einer Mengenfolge mit den Gliedern [mm] a_k=\bigcup_{i=1}^{k}A_i [/mm] wäre es sinnvoll, den Grenzwert als den Durchschnitt derjenigen Mengen zu setzen, die für beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] jedes [mm] a\in\bigcup_{i=1}^{n}A_i [/mm] enthalten. Das war zumindest mein erster Gedanke.
edit: Das entspräche dann auch den Eigenschaften von [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i
[/mm]
Und wenn Du sagst, [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i [/mm] ist nur ein Symbol, geht man dann mit
[mm] A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup [/mm] ...
genauso um?
Also a [mm] \in A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup [/mm] ... [mm] \gdw \exists\,n\in\IN: [/mm] a [mm] \in \bigcup_{i=1}^{n}A_i
[/mm]
LG
freimann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 02.01.2011 | | Autor: | freimann |
Noch eine Frage: Wie sind dann überabzählbare Vereinigungen erklärt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Noch eine Frage: Wie sind dann überabzählbare
> Vereinigungen erklärt?
was meinst Du damit? Allgemein ist für irgendeine beliebige Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] (abzählbar oder überabzählbar oder endlich) definiert:
Ist [mm] $(A_i)_{i \in I}$ [/mm] eine Familie von Mengen, so gilt
[mm] $$\bigcup_{i \in I}A_i:=\{a: \exists i \in I \text{ mit }a \in A_i\}\,.$$
[/mm]
In diesem Sinne fasst man
[mm] $$\bigcup_{i=i_0}^\infty A_i$$
[/mm]
besser nicht als
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \bigcup_{j=i_0}^n A_j$$
[/mm]
auf, sondern wirklich als
[mm] $$\{a: \exists i \in \{i_0,\;i_0+1,\ldots,n\}: a \in A_i\}\,.$$
[/mm]
Wichtig dabei ist: Im Gegensatz zu unendlichen Summen, wo die Reihenfolge der Summation einen Einfluss auf die Summe haben kann, ist bei solch einer unendlichen Vereinigung die Reihenfolge, wie die Vereinigung gebildet wird, unerheblich. An welcher Eigenschaft das nun genau liegt, kann ich Dir nicht sagen. Aber dass das bei Summen anders ist, verdeutlicht das folgende Beispiel:
Wenn Du jeweils abzählbar unendlich viele Summanden [mm] $a_k$ [/mm] hast, die die Werte $+1$ oder $-1$ annehmen, so ist eine Summe der Art
[mm] $$1+(-1)+1+(-1)+\ldots$$
[/mm]
offenbar divergent, weil die Teilsummenfolge die Häufungspunkte [mm] $0\,$ [/mm] und [mm] $1\,$ [/mm] hat.
Ordnest Du das ganze um zu
[mm] $$1+1+(-1)+1+1+(-1)+1+1+(-1)+\ldots$$
[/mm]
so divergiert diese Reihe nun offenbar gegen [mm] $+\infty\,.$
[/mm]
Vermutlich liegt das ganze daran, dass man in [mm] $\IR$ [/mm] eine gewisse Ordnung hat, die bei der Summation eine Rolle spielt, während man bei der Definition der Vereinigung von Mengen erstmal "keine Ordnung" oder nur "eine andere "Ordnung"" braucht. Aber das ist jetzt mehr oder weniger "geraten"; vielleicht kann jemand, der genaueres weiß, etwas mehr dazu sagen.
Jedenfalls finde ich es nicht uninteressant, mal genauer zu erfahren, warum etwas, was bei einer "Mengenvereinigung" problemlos geht, bei Summen schiefgeht - im Sinne von: Was ist da an der Struktur der entscheidende Punkt? Denn nach Dedekind kann man ja die reellen Zahlen auch als gewisse Mengen auffassen...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Huhu,
> dann hat [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] also erstmal garnichts
> mit einer Grenzwertbildung zu tun.
naja, zumindest nicht so, wie du ihn kennst.
Aber dazu kommen wir gleich.
> Bei einer Mengenfolge mit den Gliedern
> [mm]a_k=\bigcup_{i=1}^{k}A_i[/mm] wäre es sinnvoll, den Grenzwert
> als den Durchschnitt derjenigen Mengen zu setzen, die für
> beliebiges [mm]n\in\IN[/mm] jedes [mm]a\in\bigcup_{i=1}^{n}A_i[/mm]
> enthalten. Das war zumindest mein erster Gedanke.
> edit: Das entspräche dann auch den Eigenschaften von
> [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm]
Nunja, sagen wir mal nicht:
Im Schnitt aller [mm] $\bigcup_{i=1}^{n}A_i$, [/mm] sondern im Schnitt aller [mm] $\bigcup_{i=n}^{\infty}A_i$
[/mm]
Da kommt dann auch genau das heraus, was du beschreibst.
Man erhält also:
[mm] $\bigcap \bigcup A_i$
[/mm]
Und das ist gerade die Definition von
[mm] $\limsup A_i$
[/mm]
D.h. es gilt:
[mm] $\limsup_{k\to\infty} A_k [/mm] = [mm] \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{i=k}^{\infty} A_i$
[/mm]
Analog ist der liminf definiert als:
[mm] $\liminf_{k\to\infty} A_k [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{i=k}^{\infty} A_i$
[/mm]
Und nun kann man eben definieren:
Gilt [mm] $\limsup_{k\to\infty} A_k [/mm] = [mm] \liminf_{k\to\infty} A_k$ [/mm] so definiert man:
[mm] $\lim_{k\to\infty} A_k [/mm] := [mm] \limsup_{k\to\infty} A_k [/mm] = [mm] \liminf_{k\to\infty} A_k$
[/mm]
> Und wenn Du sagst, [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] ist nur ein
> Symbol, geht man dann mit
> [mm]A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup[/mm] ...
> genauso um?
Ja. Das ist nur Schreibweise.....
> Also a [mm]\in A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup[/mm] ... [mm]\gdw \exists\,n\in\IN:[/mm]
> a [mm]\in \bigcup_{i=1}^{n}A_i[/mm]
Um hier nochmal auf deine Frage zur Überabzählbarkeit einzugehen.
Obige Definition kann man ja nach Definition der Vereinigung noch weiter aufdröseln zu:
$a [mm] \in \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \quad \gdw \quad \exists\,n\in\IN:\; a\in \bigcup_{k=1}^n A_k \quad \gdw \quad \exists\,n\in\IN:\; a\in A_n$
[/mm]
Analog läuft das bei überabzählbaren Vereinigungen,
Sei K die überabzählbare Menge:
$a [mm] \in \bigcup_{k \in K} A_k \quad \gdw \quad \exists\,k\in K:\; [/mm] a [mm] \in A_k$
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mo 03.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo Gonozal_IX,
Seien I und J beliebige Indexmengen. Dann gilt:
a [mm] \in \bigcup_{i\in I}\bigcup_{j \in J} A_{i,j} \gdw \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] I, [mm] l\in [/mm] J : [mm] a\in A_{k,l}
[/mm]
Das ist dann wohl auch richtig?
Angenommen man weiß schon, dass [mm] \IZ [/mm] abzählbar ist und die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar.
Dann gilt
[mm] \IQ=\bigcup_{z \in \IZ}\bigcup_{n \in \IN}\{\bruch{n}{z}\}
[/mm]
also ist [mm] \IQ [/mm] abzählbar.
Und [mm] \IQ^n [/mm] = [mm] \bigcup_{i_{1} \in \IQ} [/mm] ... [mm] \bigcup_{i_{n} \in \IQ} \{i_{1},...,i_{n}\}
[/mm]
also ist [mm] \IQ^n [/mm] abzählbar.
Das ist mir gestern eingfallen, als ich über diesen formalen Umgang mit den Vereinigungen nachgedacht habe.
Sind diese Beweise richtig?
edit: Eins möchte ich auch noch Fragen. Sei U [mm] \subset \IR^n [/mm] offen. Dann lässt sich U als abzählbare Vereinigung von offenen Kugeln schreiben.
Beweis:
Zeige: [mm] U=\bigcup_{x\in \IQ}B(x,\varepsilon_{x}) [/mm]
Dabei sei [mm] \varepsilon_{x} [/mm] so gewählt, dass [mm] B(x,\varepsilon_{x}) \subset [/mm] U
[mm] "\supseteq": [/mm] Sei y [mm] \in \bigcup_{x\in \IQ}B(x,\varepsilon_{x}) \Rightarrow \exists q\in \IQ [/mm] : y [mm] \in B(q,\varepsilon_{q}) \subset [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] U
[mm] "\subseteq": [/mm] Sei y [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \exists [/mm] q [mm] \in \IQ^n [/mm] : y [mm] \in B(q,\varepsilon_{q}) [/mm] (da [mm] \IQ^n [/mm] dicht in [mm] \IR^n) \Rightarrow [/mm] y [mm] \in \bigcup_{x\in \IQ}B(x,\varepsilon_{x})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Beh.
Das sind übrigens keine Übungsaufgaben, die ich korrigiert haben möchte, sondern Aufgaben, die ich mir ausgedacht habe, damit ich mit diesen überabzählbaren / abzählbaren Vereinigungen auseinandersetzen kann.
LG
freimann
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Seien I und J beliebige Indexmengen. Dann gilt:
>
> a [mm]\in \bigcup_{i\in I}\bigcup_{j \in J} A_{i,j} \gdw \exists[/mm]
> k [mm]\in[/mm] I, [mm]l\in[/mm] J : [mm]a\in A_{k,l}[/mm]
>
> Das ist dann wohl auch richtig?
Jop.
> Angenommen man weiß schon, dass [mm]\IZ[/mm] abzählbar ist und die
> abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder
> abzählbar.
>
> Dann gilt
>
> [mm]\IQ=\bigcup_{z \in \IZ}\bigcup_{n \in \IN}\{\bruch{n}{z}\}[/mm]
Du musst den Bruch umdrehen, es muss heissen [mm] $\bruch{z}{n}$.
[/mm]
Ansonsten stimmts.
> also ist [mm]\IQ[/mm] abzählbar.
Jop.
> Und [mm]\IQ^n[/mm] = [mm]\bigcup_{i_{1} \in \IQ}[/mm] ... [mm]\bigcup_{i_{n} \in \IQ} \{i_{1},...,i_{n}\}[/mm]
>
> also ist [mm]\IQ^n[/mm] abzählbar.
Jo.
> Das ist mir gestern eingfallen, als ich über diesen
> formalen Umgang mit den Vereinigungen nachgedacht habe.
> Sind diese Beweise richtig?
Bis auf obige Bemerkung ja.
> edit: Eins möchte ich auch noch Fragen. Sei U [mm]\subset \IR^n[/mm]
> offen. Dann lässt sich U als abzählbare Vereinigung von
> offenen Kugeln schreiben.
> Beweis:
> Zeige: [mm]U=\bigcup_{x\in \IQ}B(x,\varepsilon_{x})[/mm]
> Dabei sei [mm]\varepsilon_{x}[/mm] so gewählt, dass
> [mm]B(x,\varepsilon_{x}) \subset[/mm] U
> [mm]"\supseteq":[/mm] Sei y [mm]\in \bigcup_{x\in \IQ}B(x,\varepsilon_{x}) \Rightarrow \exists q\in \IQ[/mm]
> : y [mm]\in B(q,\varepsilon_{q}) \subset[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] U
> [mm]"\subseteq":[/mm] Sei y [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow \exists[/mm] q [mm]\in \IQ^n[/mm] :
> y [mm]\in B(q,\varepsilon_{q})[/mm] (da [mm]\IQ^n[/mm] dicht in [mm]\IR^n) \Rightarrow[/mm]
> y [mm]\in \bigcup_{x\in \IQ}B(x,\varepsilon_{x})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> Beh.
Also mal abgesehen davon, dass ich die Aussage anzweifel, ist dein Beweis auch nur so halb korrekt.
Wie wähle ich mir mein [mm] $\varepsilon_x$ [/mm] wenn [mm] $q\not\in [/mm] U$ ?
Bei deiner Konstruktionsbedingung kann auch einiges schief gehen.
Beschränken wir uns (auch für spätere Beweise) erstmal auf [mm] \IR.
[/mm]
So wähle $U = (1,2)$, nun kann ich mir mein [mm] $\varepsilon_x$ [/mm] zu jedem x immer so wählen, dass [mm] $\sqrt{2} \not\in B(x,\varepsilon_x)$ [/mm] gilt.
Daraus folgt sofort [mm] $\sqrt{2} \not\in \bigcup B(x,\varepsilon_x)$, [/mm] da aber [mm] $\sqrt{2} \in [/mm] U$ folgt sofort $U [mm] \not= \bigcup B(x,\varepsilon_x)$
[/mm]
MFG,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mo 03.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo,
Also die Aussage stimmt schon, aber nicht so, wie ich sie bewiesen hatte!
Ich hab dazu das hier gefunden (Beitrag von "Buri"):
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=145508
(ich hoffe, dass ich das verlinken darf)
Von daher ist jetzt alles geklärt für mich!
Danke nochmal!
LG
freimann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 So 02.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Freimann,
> Hallo Marcel,
>
> Danke für Deine ausführliche Antwort!
>
> Das mit der Doppeldeutigkeit von [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}[/mm]
> war mir bewusst, dass hätte ich erwähnen sollen, sorry!
>
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k} =\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}a_{k}[/mm]
>
> Das war, soweit ich mich erinnern kann, eine Definition bei
> uns. Mit der linken Seite ist hier der Grenzwert der Folge
> der Partialsummen gemeint.
wie gesagt, die linke Seite ist ja gerade das evtl. doppeldeutige Symbol (in der obigen Gleichung ist seine Bedeutung natürlich aber klar und eindeutig). Und nur falls die Folge der Partialsummen konvergiert, wird das Symbol, welches man schon für die Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}a_{k} [/mm] $ (als Folge ihrer Partialsummen) verwendet, auch für den Grenzwert der Folge der Partialsummen verwendet. Dies besagt die obige Gleichung Deinerseits.
> Mit [mm]a_0+a_1+a_2+\ldots[/mm] meint man also entweder die Folge
> der Partialsummen oder deren Grenzwert?
Nicht "entweder oder", weil es ja eben zwei Bedeutungen haben kann - bzw. das "entweder oder" nur im Sinne eines zusammenhängenden Textes, weil sich dann an jeder Stelle natürlich die entsprechende Bedeutung herauskristallisieren muss. Wenn Du das so meintest, dann ja. Meiner Erfahrung nach würde ich also sagen, dass man die Notation
[mm] $$a_0+a_1+a_2+\ldots$$
[/mm]
einfach nur als andere Schreibweise für
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k$$
[/mm]
verwendet. Und genauso, wie das letzte Summen-Symbol halt evtl. zwei Bedeutungen hat, hat dann natürlich auch die "saloppe" Notation
[mm] $$a_0+a_1+a_2+\ldots$$
[/mm]
diese beiden Bedeutungen. Man sollte sich aber notfalls beim "Autor" vergewissern (d.h. entweder beim Prof. nachfragen, oder im Buch nochmal nachlesen), wie derjenige das verwendet.
> D.h.: Schreibt man
> [mm]1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+\ldots[/mm] = 2,
> dann soll das heißen:
> [mm]\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n (1/2)^k[/mm] =2
Genau das ist die Bedeutung des Summenzeichens.
> und nicht:
> Summiert man [mm](1/2)^k[/mm] von k=0 bis [mm]k=\infty[/mm] auf, so erhält
> man 2.
Eben das soll es nicht heißen - weil das auch mathematisch erstmal keinen Sinn macht. Wie hat man denn allgemein "unendlich viel Summanden" zu summieren? Darf man die Reihenfolge der Summanden beliebig vertauschen oder nicht? Fragen über Fragen...
Die Bildung eines Grenzprozesses hingegen ist etwas, was klar definiert ist bzw. wurde.
Allgemein gibt es auch die Möglichkeit, eine "Summe über eine beliebige Indexmenge [mm] $I\,$", [/mm] symbolisch in der Art
[mm] $$\sum_{i \in I} a_{i}$$
[/mm]
hinzuschreiben, z.B. in Banachräumen, siehe etwa den Begriff der ![[]](/images/popup.gif) Summierbarkeit, aber Du siehst, dass man auch dann schon etwas benötigt, wie dass die Menge der Nichtnullglieder abzählbar ist. Schlussendlich gelangt man aber wohl wieder zum Begriff der absoluten Konvergenz oder der unbedingten Konvergenz einer Reihe. Jedenfalls gibt es da gewisse Zusammenhänge, die ich gerade nicht im Kopf habe, die man aber sicherlich nochmal heraussuchen kann (z.B. wann absolute mit unbedingter Konvergenz "übereinstimmt" im Sinne von "Gleichwertigkeit" etc. pp.).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 So 02.01.2011 | | Autor: | freimann |
Hallo Marcel,
> > und nicht:
> > Summiert man [mm](1/2)^k[/mm] von k=0 bis [mm]k=\infty[/mm] auf, so
> erhält
> > man 2.
>
> Eben das soll es nicht heißen - weil das auch mathematisch
> erstmal keinen Sinn macht. Wie hat man denn allgemein
> "unendlich viel Summanden" zu summieren? Darf man die
> Reihenfolge der Summanden beliebig vertauschen oder nicht?
> Fragen über Fragen...
> Die Bildung eines Grenzprozesses hingegen ist etwas, was
> klar definiert ist bzw. wurde.
>
Hast Du das "nicht" gelesen?
Genau so hab ich es nämlich gemeint bzw. das war der eigentliche Kern meiner Frage, die damit dann auch beantwortet ist.
Danke!
LG
freimann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 So 02.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Freimann,
> Hallo Marcel,
>
> > > und nicht:
> > > Summiert man [mm](1/2)^k[/mm] von k=0 bis [mm]k=\infty[/mm] auf, so
> > erhält
> > > man 2.
> >
> > Eben das soll es nicht heißen - weil das auch mathematisch
> > erstmal keinen Sinn macht. Wie hat man denn allgemein
> > "unendlich viel Summanden" zu summieren? Darf man die
> > Reihenfolge der Summanden beliebig vertauschen oder nicht?
> > Fragen über Fragen...
> > Die Bildung eines Grenzprozesses hingegen ist etwas,
> was
> > klar definiert ist bzw. wurde.
> >
>
> Hast Du das "nicht" gelesen?
> Genau so hab ich es nämlich gemeint bzw. das war der
> eigentliche Kern meiner Frage, die damit dann auch
> beantwortet ist.
ja, ich hatte es gelesen. Ich wollte es nur noch mal hervorheben, dass das in der Tat "nicht" gemeint war. Es kann sein, dass ich vll. auch ein wenig zuviel in Deine Frage hineininterpretiert hatte und meine Antwort daher vll. etwas am eigentlichen Kern der Frage vorbeigegangen ist. Aber glücklicherweise hat sich ja nun alles geklärt
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
