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Reihen, Folgen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Fr 26.11.2004
Autor: mathenullhoch2

Hallo Leute ich habe da folgende Frage:

Zeigen Sie:

[mm] \summe_{k=1}^{n}k*k! [/mm] = (n+1)!-1

Also ich weis das ich [mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] als  [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] darstellen kann. Was ist aber mit k!

Kann ich das  [mm] \summe_{k=1}^{n}k! [/mm]

als [mm] \bruch{n!*(n+1)!}{2} [/mm] darstellen, oder liege ich da falsch.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
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Reihen, Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Fr 26.11.2004
Autor: Marcel

Hallo mathenullhoch2!
[willkommenmr]!

> Hallo Leute ich habe da folgende Frage:
>  
> Zeigen Sie:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k*k! = (n+1)!-1[/mm]
>  
> Also ich weis das ich [mm]\summe_{k=1}^{n}k[/mm] als  
> [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm] darstellen kann.

[ok] (Das brauchst du bei der Aufgabe aber gar nicht!)

> Was ist aber mit k!
>  
> Kann ich das  [mm]\summe_{k=1}^{n}k! [/mm]
>  
> als [mm]\bruch{n!*(n+1)!}{2}[/mm] darstellen, oder liege ich da
> falsch.

Da liegst du falsch: Gegenbeispiel für $n=3$:
[mm]\summe_{k=1}^{3}k!=1+2+6=9[/mm], aber
[mm]\frac{3!*4!}{2}=\frac{6*24}{2}=72[/mm]

Vielleicht versuchst du dich bei der Aussage:
[mm]\summe_{k=1}^{n}k*k!= (n+1)!-1[/mm]
mal an einem Induktionsbeweis. Damit solltest du sehr schnell ans gewünschte Ziel gelangen. :-)

Liebe Grüße,
Marcel
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Reihen, Folgen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:53 Fr 26.11.2004
Autor: mathenullhoch2

Bei der Induktion komme ich dann zum Schluß

auf  [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k*k! [/mm] = ((n+1)+1)! -1= (n(1+1))!-1


wie zeige ich jetzt ,dass es dasselbe ist wie

[mm] \summe_{k=1}^{n}k*k! [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{1}k*k! [/mm]


    
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Bezug
Reihen, Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:59 Fr 26.11.2004
Autor: Marcel

Hallo mathenullhoch2,

> Bei der Induktion komme ich dann zum Schluß
>  
> auf  [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k*k! = ((n+1)+1)! -1= (n(1+1))!-1[/mm]

Das verstehe ich nicht ganz:
Das hier:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}k*k! = ((n+1)+1)! -1[/mm]
ist [ok] (und damit bist du auch schon fertig), aber:
$((n+1)+1)! [mm] -1\red{\not=} [/mm] (n(1+1))!-1$. Sondern:
$((n+1)+1)! -1=(n+2)!-1$

Ich schreibe dir mal das notwendige auf:
Test für $n=1$ liefert das Okay für den Induktionsanfang!

Induktionsvoraussetzung (I.V.):
Es gelte für ein $n [mm] \in \IN$: $\summe_{k=1}^{n}k*k! [/mm] = (n+1)!-1$.

Was wollen wir nun zeigen?
[mm] $(\star)$ [/mm] Zu zeigen ist, dass dann für $n+1$ folgt, dass die Gleichung [mm] \summe_{k=1}^{(n+1)}k*k! = ((n+1)+1)!-1[/mm] (bzw.: [mm] \summe_{k=1}^{(n+1)}k*k! = (n+2)!-1[/mm]) stimmt.

Also: Induktionsschritt:
$n [mm] \mapsto [/mm] (n+1)$:
Es gilt:
[m] \summe_{k=1}^{(n+1)}k*k! =\left(\summe_{k=1}^{n}k*k!\right) +(n+1)*(n+1)!\stackrel{I.V.}{=}\underbrace{(n+1)!-1}_{wegen\;I.V.}+(n+1)*(n+1)!=(n+1)!(1+(n+1))-1\underbrace{=}_{(\star_1),siehe\;unten}((n+1)+1)!-1[/m]
(bzw. $=(n+2)!-1$).

Fertig, weil wir [mm] $(\star)$ [/mm] gezeigt haben! :-)

PS: Beachte dabei:
[mm] $(\star_1)$ [/mm] $(n+2)!=(n+2)(n+1)!=((n+1)+1)(n+1)!_$.
Im Beweis steht:
$(n+1)!(1+(n+1))_$, und durch umformen folgt:
$(n+1)!(1+(n+1))=(n+1)!((n+1)+1)=((n+1)+1)(n+1)!_$ und dann habe ich [mm] $(\star_1)$ [/mm] darauf angewendet!

Viele Grüße,
Marcel
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Reihen, Folgen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:29 Fr 26.11.2004
Autor: mathenullhoch2

Bei Induktionsanfang
kriege ich für das n=1

(1+1)!-1  also 2!-1

Du schreibst für n=1

(n+1)(n+1)!

Das verstehe ich nicht ganz.

Könntest du es mir vielleicht erklären
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Reihen, Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Fr 26.11.2004
Autor: Marcel

Hallo,

> Du schreibst für n=1

> (n+1)(n+1)!

Wo soll das denn stehen? Ich habe nur geschrieben, dass, wenn man die Behauptung für n=1 überprüft (was ich aus Faulheit nirgends getan habe), die Behauptung dann stimmt.

Viele Grüße,
Marcel
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Reihen, Folgen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:40 Fr 26.11.2004
Autor: mathenullhoch2

Danke marcel. Habe Die Aufgabe schon gelösst:-)


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