Reihen Konvergent o. Divergent < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.
(i) [mm] \summe_{n=0}^{ \infty } \bruch{1}{ \wurzel{ n^{2} +1} }
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} [/mm] ( [mm] \wurzel{ n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] )
(iii) [mm] \summe_{n=1}^{ \infty } \bruch{n^{4}}{3^{n}}
[/mm]
(iv) [mm] \summe_{n=0}^{ \infty } \bruch{1}{ (2n +1)^{k} } [/mm] mit k [mm] \in \IN [/mm] |
Ich habe versucht die Aufgaben zu lösen, bin mir aber nicht sicher ob die Lösungen stimmen.
(i)
Quotientenk.
[mm] \bruch{ \wurzel{ n^{2} +1} }{\wurzel{(n+1)^{2} +1}} [/mm] < 1
[mm] \gdw n^{2}+1 [/mm] < [mm] n^{2}+2n+2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 < 2n + 1
[mm] \Rightarrow [/mm] konvergent
(ii)
Nach der Leibnizschen Regel (strebt [mm] a_{n} [/mm] gegen 0, so ist die alternierende Reihe konvergent)
Also: [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] ist Nullfolge [mm] \Rightarrow [/mm] Reihe ist konvergent
[mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{ (\wurzel{n+1} - \wurzel{n}) (\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}
[/mm]
Ich behaupte die Folge ist konvergent (wie Beweisen?) und damit auch die Reihe.
(iii)
Kommt noch.... habe noch Probleme. Oder ist die Reihe divergent?
(iv)
Majorante : [mm] \summe_{n=0}^{ \infty } \bruch{1}{ 3n^{k} } [/mm]
Quotientenk. :
[mm] \bruch{3n^{k}}{ 3(n+1)^{k}} [/mm] < 1
[mm] \gdw 3n^{k} [/mm] < [mm] 3(n+1)^{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Majorante ist konvergent
[mm] \Rightarrow [/mm] Reihe ist konvergent
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (i)
> Quotientenk.
>
> [mm]\bruch{ \wurzel{ n^{2} +1} }{\wurzel{(n+1)^{2} +1}}[/mm] < 1
>
> [mm]\gdw n^{2}+1[/mm] < [mm]n^{2}+2n+2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 < 2n + 1
Sowas kannst du nicht machen - du hast in deinen Umformungen einmal eine Ungleichung quadriert - das empfiehlt sich überhaupt nicht weil das unendlich viele Fallunterscheidungen mit sich bringt (die du im Übrigen unterschlagen hast  ), da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Ich würde für diese Aufgabe auch nicht das Quotientenkriterium allgemein anwenden. Ich finde nämlich, dass die Reihe divergent ist - sie ähnelt mir für große n nämlich zu sehr der harmonischen Reihe. Man könnte es mit dem "umgekehrten" Majorantenkriterium machen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+2n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{(n+1)^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}.
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] aber divergent ist (harmonische Reihe), ist logischerweise auch die angegebene Reihe divergent.
> (ii)
> Nach der Leibnizschen Regel (strebt [mm]a_{n}[/mm] gegen 0, so ist
> die alternierende Reihe konvergent)
>
> Also: [mm]\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm] ist Nullfolge [mm]\Rightarrow[/mm]
> Reihe ist konvergent
>
> [mm]\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{ (\wurzel{n+1} - \wurzel{n}) (\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}[/mm]
>
> Ich behaupte die Folge ist konvergent (wie Beweisen?) und
> damit auch die Reihe.
Das ist soweit richtig. Deine Terme sind aber "=" gleich, und nicht [mm] "\gdw [/mm] " äquivalent, ok? Dass
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}
[/mm]
Eine Nullfolge ist, musst du nicht beweisen, das ist trivial: für [mm] n\to\infty [/mm] gehen auch die Wurzeln im Nenner [mm] \to\infty, [/mm] und damit ist klar dass es eine Nullfolge ist.
> (iii)
> Kommt noch.... habe noch Probleme. Oder ist die Reihe
> divergent?
Die Reihe ist konvergent (hat den Wert 15 ), ich empfehle zum Beweis Quotientenkriterium.
> (iv)
> Majorante : [mm]\summe_{n=0}^{ \infty } \bruch{1}{ 3n^{k} }[/mm]
>
> Quotientenk. :
>
> [mm]\bruch{3n^{k}}{ 3(n+1)^{k}}[/mm] < 1
>
> [mm]\gdw 3n^{k}[/mm] < [mm]3(n+1)^{k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Majorante ist konvergent
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Reihe ist konvergent
>
Das ist prinzipiell soweit richtig, ob das mathematisch korrekt ist überlasse ich jemand anderem. Ich kann dir sagen, dass für den Spezialfall k = 1 die Reihe aber divergent ist [mm] (\to [/mm] entsteht harmonische Reihe); ab k = 2 ist sie konvergent. Das musst du noch beachten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Fr 16.05.2008 | | Autor: | anstei |
Um noch zu erklären, wieso das Quotientenkriterium in diesem Fall nicht greift:
Eine Reihe konvergiert, wenn es ein [mm]q < 1[/mm] gibt, für die ab einem gewissen [mm] n_0 [/mm] für alle n [mm] \geq n_0 [/mm] gilt:
$ [mm] \bruch{ a_{n+1} }{a_{n}} \leq [/mm] q $
Das ist hier nicht erfüllt, da
[mm] $\lim_{n \to \infty}\bruch{ a_{n+1} }{a_{n}} [/mm] = 1$
gilt!
[Update: Bruch war falsch rum, korrigiert 22:07]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Fr 16.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Manuel
Du machst das mit dem Quotientenkriterium falsch.
Der Quotient [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}
einfachsts [mm] Beispiel:\summe_{n=1}^{/infty}1/n [/mm] weisst du es divergiert. aber
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{n}{n+1}<1
[/mm]
das zeigst du jetzt mit: n<n+1 0<1 in Wirklichkeit ist aber die Summe divergent.
Der Fehler ist in i) und iv)
iii kannst du mit Quotientenkriterium machen, du musst nur daran denken, dass das nicht für alle n, sondern nur ab einem [mm] n>n_0 [/mm] gelten muss!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
Wenn ich das richtig verstehe ist also bei (iii)
[mm] \bruch{ (n+4)^{4} 3^{n} }{ 3^{n+1} n^{4} }
[/mm]
= [mm] \bruch{ (n+4)^{4} }{ 3n^{4} }
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^{2}} +\bruch{2}{3n^{3}} +\bruch{1}{3n^{4}}
[/mm]
für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 > [mm] q=\bruch{1}{2} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^{2}} +\bruch{2}{3n^{3}} +\bruch{1}{3n^{4}}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] konvergent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Sa 17.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
bei der iii) musst du ein wenig anders rechnen:
[mm] \vmat{ \bruch{ (n+4)^{4} 3^{n} }{ 3^{n+1} n^{4} } }=\bruch{ (n+4)^{4} 3^{n} }{ 3^{n+1} n^{4} }=\bruch{ (n+4)^{4} }{ 3 n^{4} }=\bruch{ n^4(1+\bruch{4}{n})^{4} }{ 3n^{4} }=\bruch{(1+\bruch{4}{n})^{4} }{ 3 }\underbrace{\to}_{n\to\infty}\bruch{1}{3}, [/mm] da [mm] \bruch{4}{n}\to{0} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{ \infty } \bruch{n^{4}}{3^{n}} [/mm] konvergiert nach dem Qoutoentenkriterium.
MfG barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Manuel-Z |
Danke für die Hilfe.
Mal sehen ob es bei der hypergeometrischen Reihe auch klappt :D
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