Reihen, Konvergenz, Reihenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 So 15.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Konvergenz zeigen, Reihenwert bestimmen!
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2n+1} [/mm] |
Hallo und Guten Morgen und einen wunderschönen Sonntag an alle
Ich wage mich voller Hoffnung an die nächsten Aufgaben.
Und hoffe, dass mir jemand wieder hilft...
Bei der obigen Aufgabe, meine ich, dass das Ouotientenkriterium
zum Einsatz kommt, da wir das aber noch nicht in Uni bewiesen haben
aber im Buch drinsteht mit Beispielaufgabe, habe ich gedacht, ich versuche
es mal...
Ist das richtig, wie ich das gemacht habe, oder ist hier ein anderes Kriterium gefragt?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2n+1}
[/mm]
Indexverschiebung
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2(n+1)+1} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2n+3} [/mm]
Für alle n [mm] \ge [/mm] 3 sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2n+3} [/mm] mit n [mm] \in \IN_{0} [/mm] vorgegeben.
Das n für die das alles gelten soll, kann ich mir das frei wählen oder hängt das von etwas ab?
Es gebe eine reelle Zahl r mit 0<r<1, so dass
[mm] \vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}} \le [/mm] r für alle n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
dann würde die Reihe konvergieren, absolut.
[mm] \vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1+1)*(2n+3)}{(2*(n+1)+3)*(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{2n^{2} + 7n +6}{2n^{2} + 9n +10} \le \bruch{2*3^{2} + 7*3 +6}{2*3^{2} + 9*3 +10} [/mm] = [mm] \bruch{45}{55} [/mm] = r <1
Somit ist das Quotientenkriterium erfüllt...
Ist das überhaupt richtig, was ich da zusammengebraut habe?
Vielen Dank für Hilfe und Antwort im Voraus.
Gruß
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
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Hallo,
> Konvergenz zeigen, Reihenwert bestimmen!
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2n+1}[/mm]
> Hallo und Guten
> Morgen und einen wunderschönen Sonntag an alle
>
> Ich wage mich voller Hoffnung an die nächsten Aufgaben.
> Und hoffe, dass mir jemand wieder hilft...
>
> Bei der obigen Aufgabe, meine ich, dass das
> Ouotientenkriterium
> zum Einsatz kommt, da wir das aber noch nicht in Uni
> bewiesen haben
> aber im Buch drinsteht mit Beispielaufgabe, habe ich
> gedacht, ich versuche
> es mal...
>
> Ist das richtig, wie ich das gemacht habe, oder ist hier
> ein anderes Kriterium gefragt?
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2n+1}[/mm]
>
> Indexverschiebung
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2(n+1)+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{2n+3}[/mm]
>
> Für alle n [mm]\ge[/mm] 3 sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2n+3}[/mm]
> mit n [mm]\in \IN_{0}[/mm] vorgegeben.
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> Das n für die das alles gelten soll, kann ich mir das frei
> wählen oder hängt das von etwas ab?
>
> Es gebe eine reelle Zahl r mit 0<r<1, so dass
>
> [mm]\vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}} \le[/mm] r für alle n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
>
> dann würde die Reihe konvergieren, absolut.
>
> [mm]\vmat{\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1+1)*(2n+3)}{(2*(n+1)+3)*(n+2)}[/mm] = [mm]\bruch{2n^{2} + 7n +6}{2n^{2} + 9n +10}[/mm]
Also, das mit der Indexverschiebung kann man so machen. Jedoch liefert das Quotientenkriterium hier keine Aussage. Klammer doch mal nach deinem letzten Schritt [mm] n^{2} [/mm] aus und lasse n gegen [mm] \infty [/mm] laufen. Dann ergibt sich als Reihenwert 1.
[mm] \le \bruch{2*3^{2} + 7*3 +6}{2*3^{2} + 9*3 +10}
[/mm]
> = [mm]\bruch{45}{55}[/mm] = r <1
Die Abschätzung verstehe ich nicht! Du kannst doch nicht einfach für n=3 einsetzen! Versuche mal ein anderes Kriterium. Das Wurzelkriterium geht aber auch nicht. Dann bleibt ja nur noch eins...!
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> Somit ist das Quotientenkriterium erfüllt...
>
> Ist das überhaupt richtig, was ich da zusammengebraut
> habe?
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> Vielen Dank für Hilfe und Antwort im Voraus.
>
> Gruß
> Doreen
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> Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
>
>
Viele Grüße
Daniel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallöchen,
also mir ist jetzt bewußt, dass aufgrund dieser Darstellung, das Quotientenkriterium keine Aussage liefert
[mm] \bruch{2n^{2} + 7n +6}{2n^{2} + 9n +10}
[/mm]
und ja wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, kommt eins raus...
das gleiche gilt, wenn ich einfach die Grenzwertsätze genommen hätte...
Mir ist nur noch eine Sache unklar, ich habe meine Ausgangsreihe nach dem Quotientenkriterium umgeformt, geht es dann überhaupt, dass ich mit dieser Umformung einfach das nächste Kriterium ausprobiere oder sollte ich wieder von vorne mit der Ausgangsreihe beginnen...
Bezogen auf die Frage in Antwort mit welchen Kriterium man nur noch weiter rechnen kann....
Achja, wir hätten dann noch das Majoranten- u. Minorantenkriterium und das Leibnizkriterium... Leibniz täte ich zum weiterverwenden ausschliessen, da die Reihe gegen 1 läuft dann eigentlich nur noch das Majorantenkriterium... oder gibt es noch eins?
Vielen Dank für Antwort und Hilfe
Gruß
Doreen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Doreen!
Du musst natürlich bei jedem Kriterium wieder "von vorne" beginnen.
Hier bietet sich das Minorantenkriterium an.
Wehen
[mm] $\frac{n}{2n+1} \ge \frac{1}{4}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
(versuche das bitte zu beweisen) liegt Divergenz vor.
Liebe Grüße
Julius
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